Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51169 / 49825
↖ ↑ ↗
← S 67.943713°
E101.079712°		 ← 229.36 m → S 67.943713°
E101.085205°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 67.945776°
E101.079712°		 ← 229.34 m →
52 603 m²		 S 67.945776°
E101.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780784606933594 y=0.760276794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780784606933594 × 216)
    floor (0.780784606933594 × 65536)
    floor (51169.5)     		tx = 51169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760276794433594 × 216)
    floor (0.760276794433594 × 65536)
    floor (49825.5)     		ty = 49825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51169 / 49825 ti = "16/51169/49825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51169/49825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51169 ÷ 216
    51169 ÷ 65536     		x = 0.780776977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49825 ÷ 216
    49825 ÷ 65536     		y = 0.760269165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780776977539062 × 2 - 1) × π
    0.561553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76417378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760269165039062 × 2 - 1) × π
    -0.520538330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6353193936386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76417378} λ = 1.76417378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6353193936386))-π/2
    2×atan(0.194890114694671)-π/2
    2×0.192477415295429-π/2
    0.384954830590859-1.57079632675     		φ = -1.18584150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76417378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.079712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18584150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.943713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51169 KachelY 49825 1.76417378 -1.18584150 101.079712 -67.943713
    Oben rechts KachelX + 1 51170 KachelY 49825 1.76426965 -1.18584150 101.085205 -67.943713
    Unten links KachelX 51169 KachelY + 1 49826 1.76417378 -1.18587750 101.079712 -67.945776
    Unten rechts KachelX + 1 51170 KachelY + 1 49826 1.76426965 -1.18587750 101.085205 -67.945776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18584150--1.18587750) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18584150--1.18587750) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76417378-1.76426965) × cos(-1.18584150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37551726990864 × 6371000     		do = 229.361355883982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76417378-1.76426965) × cos(-1.18587750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375483904311023 × 6371000     		du = 229.340976585018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18584150)-sin(-1.18587750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37551726990864-0.375483904311023)×R²
    abs(1.76426965-1.76417378)×3.3365597617685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3365597617685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3365597617685e-05×40589641000000     		ar = 52603.0660883505m²