Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51168 / 49830
↖ ↑ ↗
← S 67.954025°
E101.074219°		 ← 229.26 m → S 67.954025°
E101.079712°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 67.956086°
E101.074219°		 ← 229.24 m →
52 550 m²		 S 67.956086°
E101.079712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780769348144531 y=0.760353088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780769348144531 × 216)
    floor (0.780769348144531 × 65536)
    floor (51168.5)     		tx = 51168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760353088378906 × 216)
    floor (0.760353088378906 × 65536)
    floor (49830.5)     		ty = 49830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51168 / 49830 ti = "16/51168/49830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51168/49830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51168 ÷ 216
    51168 ÷ 65536     		x = 0.78076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49830 ÷ 216
    49830 ÷ 65536     		y = 0.760345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76407791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.52069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6357987626348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76407791} λ = 1.76407791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6357987626348))-π/2
    2×atan(0.194796712804794)-π/2
    2×0.1923874296179-π/2
    0.3847748592358-1.57079632675     		φ = -1.18602147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76407791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18602147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.954025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51168 KachelY 49830 1.76407791 -1.18602147 101.074219 -67.954025
    Oben rechts KachelX + 1 51169 KachelY 49830 1.76417378 -1.18602147 101.079712 -67.954025
    Unten links KachelX 51168 KachelY + 1 49831 1.76407791 -1.18605745 101.074219 -67.956086
    Unten rechts KachelX + 1 51169 KachelY + 1 49831 1.76417378 -1.18605745 101.079712 -67.956086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18602147--1.18605745) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dl = 229.228580000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18602147--1.18605745) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dr = 229.228580000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76407791-1.76417378) × cos(-1.18602147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375350464861202 × 6371000     		do = 229.259473401032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76407791-1.76417378) × cos(-1.18605745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375317115369216 × 6371000     		du = 229.239103939191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18602147)-sin(-1.18605745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375350464861202-0.375317115369216)×R²
    abs(1.76417378-1.76407791)×3.33494919862454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33494919862454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33494919862454e-05×40589641000000     		ar = 52550.4889138729m²