Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51167 / 48227
↖ ↑ ↗
← S 64.404058°
E101.068725°		 ← 263.90 m → S 64.404058°
E101.074219°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
S 64.406432°
E101.068725°		 ← 263.88 m →
69 637 m²		 S 64.406432°
E101.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780754089355469 y=0.735893249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780754089355469 × 216)
    floor (0.780754089355469 × 65536)
    floor (51167.5)     		tx = 51167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735893249511719 × 216)
    floor (0.735893249511719 × 65536)
    floor (48227.5)     		ty = 48227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51167 / 48227 ti = "16/51167/48227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51167/48227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51167 ÷ 216
    51167 ÷ 65536     		x = 0.780746459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48227 ÷ 216
    48227 ÷ 65536     		y = 0.735885620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780746459960938 × 2 - 1) × π
    0.561492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76398203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735885620117188 × 2 - 1) × π
    -0.471771240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4821130624529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76398203} λ = 1.76398203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4821130624529))-π/2
    2×atan(0.227157183578745)-π/2
    2×0.223366729737673-π/2
    0.446733459475346-1.57079632675     		φ = -1.12406287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76398203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.068725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12406287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.404058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51167 KachelY 48227 1.76398203 -1.12406287 101.068725 -64.404058
    Oben rechts KachelX + 1 51168 KachelY 48227 1.76407791 -1.12406287 101.074219 -64.404058
    Unten links KachelX 51167 KachelY + 1 48228 1.76398203 -1.12410429 101.068725 -64.406432
    Unten rechts KachelX + 1 51168 KachelY + 1 48228 1.76407791 -1.12410429 101.074219 -64.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12406287--1.12410429) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12406287--1.12410429) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76398203-1.76407791) × cos(-1.12406287) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.432021869373044 × 6371000     		do = 263.901198298718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76398203-1.76407791) × cos(-1.12410429) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431984513831638 × 6371000     		du = 263.878379610964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12406287)-sin(-1.12410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432021869373044-0.431984513831638)×R²
    abs(1.76407791-1.76398203)×3.73555414058813e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73555414058813e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73555414058813e-05×40589641000000     		ar = 69637.0372477071m²