Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51165 / 48094
↖ ↑ ↗
← S 64.086607°
E101.057739°		 ← 266.95 m → S 64.086607°
E101.063233°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 64.089007°
E101.057739°		 ← 266.93 m →
71 258 m²		 S 64.089007°
E101.063233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780723571777344 y=0.733863830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780723571777344 × 216)
    floor (0.780723571777344 × 65536)
    floor (51165.5)     		tx = 51165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733863830566406 × 216)
    floor (0.733863830566406 × 65536)
    floor (48094.5)     		ty = 48094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51165 / 48094 ti = "16/51165/48094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51165/48094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51165 ÷ 216
    51165 ÷ 65536     		x = 0.780715942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48094 ÷ 216
    48094 ÷ 65536     		y = 0.733856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780715942382812 × 2 - 1) × π
    0.561431884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76379028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46771240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46936184715396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76379028} λ = 1.76379028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46936184715396))-π/2
    2×atan(0.230072259616752)-π/2
    2×0.226137016045987-π/2
    0.452274032091975-1.57079632675     		φ = -1.11852229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76379028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.057739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11852229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.086607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51165 KachelY 48094 1.76379028 -1.11852229 101.057739 -64.086607
    Oben rechts KachelX + 1 51166 KachelY 48094 1.76388616 -1.11852229 101.063233 -64.086607
    Unten links KachelX 51165 KachelY + 1 48095 1.76379028 -1.11856419 101.057739 -64.089007
    Unten rechts KachelX + 1 51166 KachelY + 1 48095 1.76388616 -1.11856419 101.063233 -64.089007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11852229--1.11856419) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11852229--1.11856419) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76379028-1.76388616) × cos(-1.11852229) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437012057533196 × 6371000     		do = 266.949462121823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76379028-1.76388616) × cos(-1.11856419) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.436974369957971 × 6371000     		du = 266.926440610719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11852229)-sin(-1.11856419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437012057533196-0.436974369957971)×R²
    abs(1.76388616-1.76379028)×3.76875752248207e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.76875752248207e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.76875752248207e-05×40589641000000     		ar = 71257.7247442692m²