Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51164 / 48095
↖ ↑ ↗
← S 64.089007°
E101.052246°		 ← 266.90 m → S 64.089007°
E101.057739°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 64.091407°
E101.052246°		 ← 266.88 m →
71 227 m²		 S 64.091407°
E101.057739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780708312988281 y=0.733879089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780708312988281 × 216)
    floor (0.780708312988281 × 65536)
    floor (51164.5)     		tx = 51164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733879089355469 × 216)
    floor (0.733879089355469 × 65536)
    floor (48095.5)     		ty = 48095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51164 / 48095 ti = "16/51164/48095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51164/48095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51164 ÷ 216
    51164 ÷ 65536     		x = 0.78070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48095 ÷ 216
    48095 ÷ 65536     		y = 0.733871459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78070068359375 × 2 - 1) × π
    0.5614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76369441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733871459960938 × 2 - 1) × π
    -0.467742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4694577209532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76369441} λ = 1.76369441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4694577209532))-π/2
    2×atan(0.230050202772476)-π/2
    2×0.226116067946296-π/2
    0.452232135892592-1.57079632675     		φ = -1.11856419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76369441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11856419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.089007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51164 KachelY 48095 1.76369441 -1.11856419 101.052246 -64.089007
    Oben rechts KachelX + 1 51165 KachelY 48095 1.76379028 -1.11856419 101.057739 -64.089007
    Unten links KachelX 51164 KachelY + 1 48096 1.76369441 -1.11860608 101.052246 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 51165 KachelY + 1 48096 1.76379028 -1.11860608 101.057739 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11856419--1.11860608) × R
    4.18899999998779e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11856419--1.11860608) × R
    4.18899999998779e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76369441-1.76379028) × cos(-1.11856419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436974369957971 × 6371000     		do = 266.898600973778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76369441-1.76379028) × cos(-1.11860608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 266.875586889169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11856419)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436974369957971-0.436936690610512)×R²
    abs(1.76379028-1.76369441)×3.76793474586301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76793474586301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76793474586301e-05×40589641000000     		ar = 71227.1452341098m²