Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51153 / 49421
↖ ↑ ↗
← S 67.095242°
E100.991821°		 ← 237.72 m → S 67.095242°
E100.997314°		 →
↑
237.77 m
↓
↑
237.77 m
↓
S 67.097381°
E100.991821°		 ← 237.70 m →
56 519 m²		 S 67.097381°
E100.997314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780540466308594 y=0.754112243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780540466308594 × 216)
    floor (0.780540466308594 × 65536)
    floor (51153.5)     		tx = 51153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754112243652344 × 216)
    floor (0.754112243652344 × 65536)
    floor (49421.5)     		ty = 49421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51153 / 49421 ti = "16/51153/49421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51153/49421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51153 ÷ 216
    51153 ÷ 65536     		x = 0.780532836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49421 ÷ 216
    49421 ÷ 65536     		y = 0.754104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780532836914062 × 2 - 1) × π
    0.561065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76263980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.508209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59658637874559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76263980} λ = 1.76263980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59658637874559))-π/2
    2×atan(0.202586893910221)-π/2
    2×0.199881715903716-π/2
    0.399763431807432-1.57079632675     		φ = -1.17103289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76263980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.991821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17103289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.095242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51153 KachelY 49421 1.76263980 -1.17103289 100.991821 -67.095242
    Oben rechts KachelX + 1 51154 KachelY 49421 1.76273567 -1.17103289 100.997314 -67.095242
    Unten links KachelX 51153 KachelY + 1 49422 1.76263980 -1.17107021 100.991821 -67.097381
    Unten rechts KachelX + 1 51154 KachelY + 1 49422 1.76273567 -1.17107021 100.997314 -67.097381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17103289--1.17107021) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dl = 237.765719999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17103289--1.17107021) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dr = 237.765719999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76263980-1.76273567) × cos(-1.17103289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389200442273502 × 6371000     		do = 237.718870219241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76263980-1.76273567) × cos(-1.17107021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389166064569145 × 6371000     		du = 237.697872737859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17103289)-sin(-1.17107021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389200442273502-0.389166064569145)×R²
    abs(1.76273567-1.76263980)×3.4377704356936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4377704356936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4377704356936e-05×40589641000000     		ar = 56518.902100802m²