Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51153 / 49392
↖ ↑ ↗
← S 67.033163°
E100.991821°		 ← 238.33 m → S 67.033163°
E100.997314°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 67.035306°
E100.991821°		 ← 238.31 m →
56 800 m²		 S 67.035306°
E100.997314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780540466308594 y=0.753669738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780540466308594 × 216)
    floor (0.780540466308594 × 65536)
    floor (51153.5)     		tx = 51153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753669738769531 × 216)
    floor (0.753669738769531 × 65536)
    floor (49392.5)     		ty = 49392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51153 / 49392 ti = "16/51153/49392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51153/49392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51153 ÷ 216
    51153 ÷ 65536     		x = 0.780532836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49392 ÷ 216
    49392 ÷ 65536     		y = 0.753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780532836914062 × 2 - 1) × π
    0.561065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76263980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.50732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59380603856763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76263980} λ = 1.76263980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59380603856763))-π/2
    2×atan(0.20315093814496)-π/2
    2×0.200423464049597-π/2
    0.400846928099194-1.57079632675     		φ = -1.16994940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76263980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.991821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16994940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.033163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51153 KachelY 49392 1.76263980 -1.16994940 100.991821 -67.033163
    Oben rechts KachelX + 1 51154 KachelY 49392 1.76273567 -1.16994940 100.997314 -67.033163
    Unten links KachelX 51153 KachelY + 1 49393 1.76263980 -1.16998681 100.991821 -67.035306
    Unten rechts KachelX + 1 51154 KachelY + 1 49393 1.76273567 -1.16998681 100.997314 -67.035306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16994940--1.16998681) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16994940--1.16998681) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76263980-1.76273567) × cos(-1.16994940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390198273788991 × 6371000     		do = 238.328333505422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76263980-1.76273567) × cos(-1.16998681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390163828974676 × 6371000     		du = 238.307295034098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16994940)-sin(-1.16998681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390198273788991-0.390163828974676)×R²
    abs(1.76273567-1.76263980)×3.44448143159148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44448143159148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44448143159148e-05×40589641000000     		ar = 56800.4557566807m²