Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51151 / 49393
↖ ↑ ↗
← S 67.035306°
E100.980835°		 ← 238.33 m → S 67.035306°
E100.986328°		 →
↑
238.28 m
↓
↑
238.28 m
↓
S 67.037449°
E100.980835°		 ← 238.31 m →
56 786 m²		 S 67.037449°
E100.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780509948730469 y=0.753684997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780509948730469 × 216)
    floor (0.780509948730469 × 65536)
    floor (51151.5)     		tx = 51151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753684997558594 × 216)
    floor (0.753684997558594 × 65536)
    floor (49393.5)     		ty = 49393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51151 / 49393 ti = "16/51151/49393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51151/49393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51151 ÷ 216
    51151 ÷ 65536     		x = 0.780502319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49393 ÷ 216
    49393 ÷ 65536     		y = 0.753677368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780502319335938 × 2 - 1) × π
    0.561004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76244805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.507354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59390191236687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76244805} λ = 1.76244805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59390191236687))-π/2
    2×atan(0.203131462226331)-π/2
    2×0.200404759979615-π/2
    0.40080951995923-1.57079632675     		φ = -1.16998681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76244805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16998681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.035306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51151 KachelY 49393 1.76244805 -1.16998681 100.980835 -67.035306
    Oben rechts KachelX + 1 51152 KachelY 49393 1.76254393 -1.16998681 100.986328 -67.035306
    Unten links KachelX 51151 KachelY + 1 49394 1.76244805 -1.17002421 100.980835 -67.037449
    Unten rechts KachelX + 1 51152 KachelY + 1 49394 1.76254393 -1.17002421 100.986328 -67.037449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16998681--1.17002421) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dl = 238.275400000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16998681--1.17002421) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dr = 238.275400000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76244805-1.76254393) × cos(-1.16998681) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390163828974676 × 6371000     		do = 238.332152372043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76244805-1.76254393) × cos(-1.17002421) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390129392821923 × 6371000     		du = 238.311116997168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16998681)-sin(-1.17002421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390163828974676-0.390129392821923)×R²
    abs(1.76254393-1.76244805)×3.44361527530035e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.44361527530035e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.44361527530035e-05×40589641000000     		ar = 56786.182839905m²