Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51151 / 49230
↖ ↑ ↗
← S 66.683436°
E100.980835°		 ← 241.78 m → S 66.683436°
E100.986328°		 →
↑
241.78 m
↓
↑
241.78 m
↓
S 66.685610°
E100.980835°		 ← 241.76 m →
58 455 m²		 S 66.685610°
E100.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780509948730469 y=0.751197814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780509948730469 × 216)
    floor (0.780509948730469 × 65536)
    floor (51151.5)     		tx = 51151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751197814941406 × 216)
    floor (0.751197814941406 × 65536)
    floor (49230.5)     		ty = 49230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51151 / 49230 ti = "16/51151/49230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51151/49230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51151 ÷ 216
    51151 ÷ 65536     		x = 0.780502319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49230 ÷ 216
    49230 ÷ 65536     		y = 0.751190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780502319335938 × 2 - 1) × π
    0.561004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76244805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.50238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57827448309073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76244805} λ = 1.76244805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57827448309073))-π/2
    2×atan(0.206330818532184)-π/2
    2×0.203475408352933-π/2
    0.406950816705866-1.57079632675     		φ = -1.16384551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76244805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16384551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.683436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51151 KachelY 49230 1.76244805 -1.16384551 100.980835 -66.683436
    Oben rechts KachelX + 1 51152 KachelY 49230 1.76254393 -1.16384551 100.986328 -66.683436
    Unten links KachelX 51151 KachelY + 1 49231 1.76244805 -1.16388346 100.980835 -66.685610
    Unten rechts KachelX + 1 51152 KachelY + 1 49231 1.76254393 -1.16388346 100.986328 -66.685610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16384551--1.16388346) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dl = 241.77945000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16384551--1.16388346) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dr = 241.77945000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76244805-1.76254393) × cos(-1.16384551) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.3958110098705 × 6371000     		do = 241.781741180091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76244805-1.76254393) × cos(-1.16388346) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		du = 241.760452404905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16384551)-sin(-1.16388346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3958110098705-0.395776158886451)×R²
    abs(1.76254393-1.76244805)×3.48509840487621e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48509840487621e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48509840487621e-05×40589641000000     		ar = 58455.2828155591m²