Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5115 / 1075
↖ ↑ ↗
← N 78.742083°
E 44.780273°		 ← 953.97 m → N 78.742083°
E 44.824219°		 →
↑
954.31 m
↓
↑
954.31 m
↓
N 78.733501°
E 44.780273°		 ← 954.69 m →
910 727 m²		 N 78.733501°
E 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62445068359375 y=0.13128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62445068359375 × 213)
    floor (0.62445068359375 × 8192)
    floor (5115.5)     		tx = 5115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13128662109375 × 213)
    floor (0.13128662109375 × 8192)
    floor (1075.5)     		ty = 1075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5115 / 1075 ti = "13/5115/1075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5115/1075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5115 ÷ 213
    5115 ÷ 8192     		x = 0.6243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1075 ÷ 213
    1075 ÷ 8192     		y = 0.1312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6243896484375 × 2 - 1) × π
    0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1312255859375 × 2 - 1) × π
    0.737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31707798003503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78156321} λ = 0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31707798003503))-π/2
    2×atan(10.1459841812877)-π/2
    2×1.4725524674707-π/2
    2.9451049349414-1.57079632675     		φ = 1.37430861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37430861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.742083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5115 KachelY 1075 0.78156321 1.37430861 44.780273 78.742083
    Oben rechts KachelX + 1 5116 KachelY 1075 0.78233020 1.37430861 44.824219 78.742083
    Unten links KachelX 5115 KachelY + 1 1076 0.78156321 1.37415882 44.780273 78.733501
    Unten rechts KachelX + 1 5116 KachelY + 1 1076 0.78233020 1.37415882 44.824219 78.733501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37430861-1.37415882) × R
    0.000149790000000039 × 6371000     		dl = 954.312090000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37430861-1.37415882) × R
    0.000149790000000039 × 6371000     		dr = 954.312090000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78156321-0.78233020) × cos(1.37430861) × R
    0.000766990000000023 × 0.195225841086793 × 6371000     		do = 953.96976250525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78156321-0.78233020) × cos(1.37415882) × R
    0.000766990000000023 × 0.19537274668399 × 6371000     		du = 954.687615720216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37430861)-sin(1.37415882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195225841086793-0.19537274668399)×R²
    abs(0.78233020-0.78156321)×0.000146905597196906×R²
    0.000766990000000023×0.000146905597196906×6371000²
    0.000766990000000023×0.000146905597196906×40589641000000     		ar = 910727.40755817m²