Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51143 / 49433
↖ ↑ ↗
← S 67.120884°
E100.936890°		 ← 237.47 m → S 67.120884°
E100.942383°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
S 67.123020°
E100.936890°		 ← 237.45 m →
56 383 m²		 S 67.123020°
E100.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780387878417969 y=0.754295349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780387878417969 × 216)
    floor (0.780387878417969 × 65536)
    floor (51143.5)     		tx = 51143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754295349121094 × 216)
    floor (0.754295349121094 × 65536)
    floor (49433.5)     		ty = 49433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51143 / 49433 ti = "16/51143/49433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51143/49433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51143 ÷ 216
    51143 ÷ 65536     		x = 0.780380249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49433 ÷ 216
    49433 ÷ 65536     		y = 0.754287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780380249023438 × 2 - 1) × π
    0.560760498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76168106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754287719726562 × 2 - 1) × π
    -0.508575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59773686433647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76168106} λ = 1.76168106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59773686433647))-π/2
    2×atan(0.202353954630212)-π/2
    2×0.199657949755078-π/2
    0.399315899510157-1.57079632675     		φ = -1.17148043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76168106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.936890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17148043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.120884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51143 KachelY 49433 1.76168106 -1.17148043 100.936890 -67.120884
    Oben rechts KachelX + 1 51144 KachelY 49433 1.76177693 -1.17148043 100.942383 -67.120884
    Unten links KachelX 51143 KachelY + 1 49434 1.76168106 -1.17151770 100.936890 -67.123020
    Unten rechts KachelX + 1 51144 KachelY + 1 49434 1.76177693 -1.17151770 100.942383 -67.123020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17148043--1.17151770) × R
    3.72700000002002e-05 × 6371000     		dl = 237.447170001275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17148043--1.17151770) × R
    3.72700000002002e-05 × 6371000     		dr = 237.447170001275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76168106-1.76177693) × cos(-1.17148043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388788150456363 × 6371000     		do = 237.467047419661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76168106-1.76177693) × cos(-1.17151770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388753812322319 × 6371000     		du = 237.446074107342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17148043)-sin(-1.17151770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388788150456363-0.388753812322319)×R²
    abs(1.76177693-1.76168106)×3.43381340439652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43381340439652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43381340439652e-05×40589641000000     		ar = 56383.3883580394m²