Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5114 / 3061
↖ ↑ ↗
← N 81.111905°
W123.815918°		 ← 188.74 m → N 81.111905°
W123.804932°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 81.110208°
W123.815918°		 ← 188.78 m →
35 632 m²		 N 81.110208°
W123.804932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156082153320312 y=0.0934295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156082153320312 × 215)
    floor (0.156082153320312 × 32768)
    floor (5114.5)     		tx = 5114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0934295654296875 × 215)
    floor (0.0934295654296875 × 32768)
    floor (3061.5)     		ty = 3061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5114 / 3061 ti = "15/5114/3061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5114/3061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5114 ÷ 215
    5114 ÷ 32768     		x = 0.15606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3061 ÷ 215
    3061 ÷ 32768     		y = 0.093414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.6878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16099543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093414306640625 × 2 - 1) × π
    0.81317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55465325455203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16099543} λ = -2.16099543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55465325455203))-π/2
    2×atan(12.8668373666407)-π/2
    2×1.49323306756095-π/2
    2.98646613512191-1.57079632675     		φ = 1.41566981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16099543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41566981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.111905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5114 KachelY 3061 -2.16099543 1.41566981 -123.815918 81.111905
    Oben rechts KachelX + 1 5115 KachelY 3061 -2.16080369 1.41566981 -123.804932 81.111905
    Unten links KachelX 5114 KachelY + 1 3062 -2.16099543 1.41564018 -123.815918 81.110208
    Unten rechts KachelX + 1 5115 KachelY + 1 3062 -2.16080369 1.41564018 -123.804932 81.110208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41566981-1.41564018) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41566981-1.41564018) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16099543--2.16080369) × cos(1.41566981) × R
    0.000191739999999996 × 0.154505098107462 × 6371000     		do = 188.739648653372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16099543--2.16080369) × cos(1.41564018) × R
    0.000191739999999996 × 0.154534372242334 × 6371000     		du = 188.775409220486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41566981)-sin(1.41564018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154505098107462-0.154534372242334)×R²
    abs(-2.16080369--2.16099543)×2.92741348718595e-05×R²
    0.000191739999999996×2.92741348718595e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.92741348718595e-05×40589641000000     		ar = 35632.2740478933m²