Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51135 / 48469
↖ ↑ ↗
← S 64.972388°
E100.892944°		 ← 258.40 m → S 64.972388°
E100.898437°		 →
↑
258.41 m
↓
↑
258.41 m
↓
S 64.974712°
E100.892944°		 ← 258.37 m →
66 769 m²		 S 64.974712°
E100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780265808105469 y=0.739585876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780265808105469 × 216)
    floor (0.780265808105469 × 65536)
    floor (51135.5)     		tx = 51135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739585876464844 × 216)
    floor (0.739585876464844 × 65536)
    floor (48469.5)     		ty = 48469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51135 / 48469 ti = "16/51135/48469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51135/48469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51135 ÷ 216
    51135 ÷ 65536     		x = 0.780258178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48469 ÷ 216
    48469 ÷ 65536     		y = 0.739578247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780258178710938 × 2 - 1) × π
    0.560516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76091407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739578247070312 × 2 - 1) × π
    -0.479156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.505314521869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76091407} λ = 1.76091407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.505314521869))-π/2
    2×atan(0.221947475518011)-π/2
    2×0.218407113198524-π/2
    0.436814226397049-1.57079632675     		φ = -1.13398210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76091407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.892944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13398210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.972388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51135 KachelY 48469 1.76091407 -1.13398210 100.892944 -64.972388
    Oben rechts KachelX + 1 51136 KachelY 48469 1.76100994 -1.13398210 100.898437 -64.972388
    Unten links KachelX 51135 KachelY + 1 48470 1.76091407 -1.13402266 100.892944 -64.974712
    Unten rechts KachelX + 1 51136 KachelY + 1 48470 1.76100994 -1.13402266 100.898437 -64.974712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13398210--1.13402266) × R
    4.05599999999673e-05 × 6371000     		dl = 258.407759999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13398210--1.13402266) × R
    4.05599999999673e-05 × 6371000     		dr = 258.407759999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76091407-1.76100994) × cos(-1.13398210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42305497487545 × 6371000     		do = 258.396804691577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76091407-1.76100994) × cos(-1.13402266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423018222948575 × 6371000     		du = 258.374357064118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13398210)-sin(-1.13402266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42305497487545-0.423018222948575)×R²
    abs(1.76100994-1.76091407)×3.67519268750227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67519268750227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67519268750227e-05×40589641000000     		ar = 66768.8391802452m²