Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51134 / 49422
↖ ↑ ↗
← S 67.097381°
E100.887451°		 ← 237.70 m → S 67.097381°
E100.892944°		 →
↑
237.70 m
↓
↑
237.70 m
↓
S 67.099518°
E100.887451°		 ← 237.68 m →
56 499 m²		 S 67.099518°
E100.892944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780250549316406 y=0.754127502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780250549316406 × 216)
    floor (0.780250549316406 × 65536)
    floor (51134.5)     		tx = 51134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754127502441406 × 216)
    floor (0.754127502441406 × 65536)
    floor (49422.5)     		ty = 49422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51134 / 49422 ti = "16/51134/49422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51134/49422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51134 ÷ 216
    51134 ÷ 65536     		x = 0.780242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49422 ÷ 216
    49422 ÷ 65536     		y = 0.754119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780242919921875 × 2 - 1) × π
    0.56048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76081820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.50823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59668225254483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76081820} λ = 1.76081820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59668225254483))-π/2
    2×atan(0.202567472066064)-π/2
    2×0.199863059665227-π/2
    0.399726119330454-1.57079632675     		φ = -1.17107021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76081820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17107021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.097381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51134 KachelY 49422 1.76081820 -1.17107021 100.887451 -67.097381
    Oben rechts KachelX + 1 51135 KachelY 49422 1.76091407 -1.17107021 100.892944 -67.097381
    Unten links KachelX 51134 KachelY + 1 49423 1.76081820 -1.17110752 100.887451 -67.099518
    Unten rechts KachelX + 1 51135 KachelY + 1 49423 1.76091407 -1.17110752 100.892944 -67.099518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17107021--1.17110752) × R
    3.73100000001791e-05 × 6371000     		dl = 237.702010001141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17107021--1.17110752) × R
    3.73100000001791e-05 × 6371000     		dr = 237.702010001141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76081820-1.76091407) × cos(-1.17107021) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.389166064569145 × 6371000     		do = 237.697872738409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76081820-1.76091407) × cos(-1.17110752) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.389131695534585 × 6371000     		du = 237.676880552434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17107021)-sin(-1.17110752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389166064569145-0.389131695534585)×R²
    abs(1.76091407-1.76081820)×3.4369034559556e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.4369034559556e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.4369034559556e-05×40589641000000     		ar = 56498.7671871395m²