Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51133 / 49252
↖ ↑ ↗
← S 66.731223°
E100.881958°		 ← 241.31 m → S 66.731223°
E100.887451°		 →
↑
241.27 m
↓
↑
241.27 m
↓
S 66.733393°
E100.881958°		 ← 241.29 m →
58 219 m²		 S 66.733393°
E100.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780235290527344 y=0.751533508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780235290527344 × 216)
    floor (0.780235290527344 × 65536)
    floor (51133.5)     		tx = 51133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751533508300781 × 216)
    floor (0.751533508300781 × 65536)
    floor (49252.5)     		ty = 49252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51133 / 49252 ti = "16/51133/49252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51133/49252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51133 ÷ 216
    51133 ÷ 65536     		x = 0.780227661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49252 ÷ 216
    49252 ÷ 65536     		y = 0.75152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780227661132812 × 2 - 1) × π
    0.560455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76072232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.5030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58038370667401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76072232} λ = 1.76072232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58038370667401))-π/2
    2×atan(0.205896079346023)-π/2
    2×0.203058385453451-π/2
    0.406116770906902-1.57079632675     		φ = -1.16467956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76072232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.881958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16467956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.731223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51133 KachelY 49252 1.76072232 -1.16467956 100.881958 -66.731223
    Oben rechts KachelX + 1 51134 KachelY 49252 1.76081820 -1.16467956 100.887451 -66.731223
    Unten links KachelX 51133 KachelY + 1 49253 1.76072232 -1.16471743 100.881958 -66.733393
    Unten rechts KachelX + 1 51134 KachelY + 1 49253 1.76081820 -1.16471743 100.887451 -66.733393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16467956--1.16471743) × R
    3.78700000001064e-05 × 6371000     		dl = 241.269770000678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16467956--1.16471743) × R
    3.78700000001064e-05 × 6371000     		dr = 241.269770000678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76072232-1.76081820) × cos(-1.16467956) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395044937491908 × 6371000     		do = 241.313784733281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76072232-1.76081820) × cos(-1.16471743) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395010147486387 × 6371000     		du = 241.29253320692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16467956)-sin(-1.16471743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395044937491908-0.395010147486387)×R²
    abs(1.76081820-1.76072232)×3.47900055204242e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.47900055204242e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.47900055204242e-05×40589641000000     		ar = 58219.1576720861m²