Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51131 / 48526
↖ ↑ ↗
← S 65.104524°
E100.870972°		 ← 257.12 m → S 65.104524°
E100.876465°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 65.106836°
E100.870972°		 ← 257.10 m →
66 111 m²		 S 65.106836°
E100.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780204772949219 y=0.740455627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780204772949219 × 216)
    floor (0.780204772949219 × 65536)
    floor (51131.5)     		tx = 51131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740455627441406 × 216)
    floor (0.740455627441406 × 65536)
    floor (48526.5)     		ty = 48526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51131 / 48526 ti = "16/51131/48526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51131/48526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51131 ÷ 216
    51131 ÷ 65536     		x = 0.780197143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48526 ÷ 216
    48526 ÷ 65536     		y = 0.740447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780197143554688 × 2 - 1) × π
    0.560394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76053058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.48089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51077932842569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76053058} λ = 1.76053058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51077932842569))-π/2
    2×atan(0.220737883601759)-π/2
    2×0.217254014670549-π/2
    0.434508029341097-1.57079632675     		φ = -1.13628830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76053058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.870972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13628830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.104524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51131 KachelY 48526 1.76053058 -1.13628830 100.870972 -65.104524
    Oben rechts KachelX + 1 51132 KachelY 48526 1.76062645 -1.13628830 100.876465 -65.104524
    Unten links KachelX 51131 KachelY + 1 48527 1.76053058 -1.13632866 100.870972 -65.106836
    Unten rechts KachelX + 1 51132 KachelY + 1 48527 1.76062645 -1.13632866 100.876465 -65.106836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13628830--1.13632866) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dl = 257.133560000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13628830--1.13632866) × R
    4.03600000000726e-05 × 6371000     		dr = 257.133560000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76053058-1.76062645) × cos(-1.13628830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420964194624736 × 6371000     		do = 257.119781684683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76053058-1.76062645) × cos(-1.13632866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420927584643867 × 6371000     		du = 257.097420756108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13628830)-sin(-1.13632866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420964194624736-0.420927584643867)×R²
    abs(1.76062645-1.76053058)×3.66099808692399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66099808692399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66099808692399e-05×40589641000000     		ar = 66111.24994739m²