Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51128 / 49222
↖ ↑ ↗
← S 66.666036°
E100.854492°		 ← 241.95 m → S 66.666036°
E100.859985°		 →
↑
241.91 m
↓
↑
241.91 m
↓
S 66.668211°
E100.854492°		 ← 241.93 m →
58 527 m²		 S 66.668211°
E100.859985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780158996582031 y=0.751075744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780158996582031 × 216)
    floor (0.780158996582031 × 65536)
    floor (51128.5)     		tx = 51128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751075744628906 × 216)
    floor (0.751075744628906 × 65536)
    floor (49222.5)     		ty = 49222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51128 / 49222 ti = "16/51128/49222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51128/49222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51128 ÷ 216
    51128 ÷ 65536     		x = 0.7801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49222 ÷ 216
    49222 ÷ 65536     		y = 0.751068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7801513671875 × 2 - 1) × π
    0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.50213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57750749269681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76024295} λ = 1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57750749269681))-π/2
    2×atan(0.206489132993043)-π/2
    2×0.203627253441662-π/2
    0.407254506883325-1.57079632675     		φ = -1.16354182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16354182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.666036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51128 KachelY 49222 1.76024295 -1.16354182 100.854492 -66.666036
    Oben rechts KachelX + 1 51129 KachelY 49222 1.76033883 -1.16354182 100.859985 -66.666036
    Unten links KachelX 51128 KachelY + 1 49223 1.76024295 -1.16357979 100.854492 -66.668211
    Unten rechts KachelX + 1 51129 KachelY + 1 49223 1.76033883 -1.16357979 100.859985 -66.668211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16354182--1.16357979) × R
    3.79699999999428e-05 × 6371000     		dl = 241.906869999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16354182--1.16357979) × R
    3.79699999999428e-05 × 6371000     		dr = 241.906869999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76024295-1.76033883) × cos(-1.16354182) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.396089879856004 × 6371000     		do = 241.952089322904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76024295-1.76033883) × cos(-1.16357979) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.396055015070562 × 6371000     		du = 241.930792117116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16354182)-sin(-1.16357979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396089879856004-0.396055015070562)×R²
    abs(1.76033883-1.76024295)×3.48647854421236e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48647854421236e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48647854421236e-05×40589641000000     		ar = 58527.2966548888m²