Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51127 / 49226
↖ ↑ ↗
← S 66.674737°
E100.848999°		 ← 241.84 m → S 66.674737°
E100.854492°		 →
↑
241.84 m
↓
↑
241.84 m
↓
S 66.676912°
E100.848999°		 ← 241.82 m →
58 485 m²		 S 66.676912°
E100.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780143737792969 y=0.751136779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780143737792969 × 216)
    floor (0.780143737792969 × 65536)
    floor (51127.5)     		tx = 51127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751136779785156 × 216)
    floor (0.751136779785156 × 65536)
    floor (49226.5)     		ty = 49226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51127 / 49226 ti = "16/51127/49226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51127/49226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51127 ÷ 216
    51127 ÷ 65536     		x = 0.780136108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49226 ÷ 216
    49226 ÷ 65536     		y = 0.751129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780136108398438 × 2 - 1) × π
    0.560272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76014708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.50225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57789098789377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76014708} λ = 1.76014708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57789098789377))-π/2
    2×atan(0.206409960584405)-π/2
    2×0.203551317529127-π/2
    0.407102635058255-1.57079632675     		φ = -1.16369369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76014708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16369369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.674737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51127 KachelY 49226 1.76014708 -1.16369369 100.848999 -66.674737
    Oben rechts KachelX + 1 51128 KachelY 49226 1.76024295 -1.16369369 100.854492 -66.674737
    Unten links KachelX 51127 KachelY + 1 49227 1.76014708 -1.16373165 100.848999 -66.676912
    Unten rechts KachelX + 1 51128 KachelY + 1 49227 1.76024295 -1.16373165 100.854492 -66.676912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16369369--1.16373165) × R
    3.79600000000035e-05 × 6371000     		dl = 241.843160000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16369369--1.16373165) × R
    3.79600000000035e-05 × 6371000     		dr = 241.843160000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76014708-1.76024295) × cos(-1.16369369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395950426471151 × 6371000     		do = 241.841678014858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76014708-1.76024295) × cos(-1.16373165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395915568585027 × 6371000     		du = 241.820387244325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16369369)-sin(-1.16373165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395950426471151-0.395915568585027)×R²
    abs(1.76024295-1.76014708)×3.48578861241733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48578861241733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48578861241733e-05×40589641000000     		ar = 58485.1811245654m²