Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51126 / 49405
↖ ↑ ↗
← S 67.061011°
E100.843506°		 ← 238.05 m → S 67.061011°
E100.848999°		 →
↑
238.02 m
↓
↑
238.02 m
↓
S 67.063152°
E100.843506°		 ← 238.03 m →
56 659 m²		 S 67.063152°
E100.848999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780128479003906 y=0.753868103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780128479003906 × 216)
    floor (0.780128479003906 × 65536)
    floor (51126.5)     		tx = 51126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753868103027344 × 216)
    floor (0.753868103027344 × 65536)
    floor (49405.5)     		ty = 49405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51126 / 49405 ti = "16/51126/49405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51126/49405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51126 ÷ 216
    51126 ÷ 65536     		x = 0.780120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49405 ÷ 216
    49405 ÷ 65536     		y = 0.753860473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780120849609375 × 2 - 1) × π
    0.56024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76005121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753860473632812 × 2 - 1) × π
    -0.507720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59505239795775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76005121} λ = 1.76005121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59505239795775))-π/2
    2×atan(0.202897896788583)-π/2
    2×0.200180439886415-π/2
    0.40036087977283-1.57079632675     		φ = -1.17043545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76005121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17043545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.061011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51126 KachelY 49405 1.76005121 -1.17043545 100.843506 -67.061011
    Oben rechts KachelX + 1 51127 KachelY 49405 1.76014708 -1.17043545 100.848999 -67.061011
    Unten links KachelX 51126 KachelY + 1 49406 1.76005121 -1.17047281 100.843506 -67.063152
    Unten rechts KachelX + 1 51127 KachelY + 1 49406 1.76014708 -1.17047281 100.848999 -67.063152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17043545--1.17047281) × R
    3.73599999998753e-05 × 6371000     		dl = 238.020559999205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17043545--1.17047281) × R
    3.73599999998753e-05 × 6371000     		dr = 238.020559999205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76005121-1.76014708) × cos(-1.17043545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389750706483479 × 6371000     		do = 238.054964868964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76005121-1.76014708) × cos(-1.17047281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389716300625268 × 6371000     		du = 238.033950191552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17043545)-sin(-1.17047281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389750706483479-0.389716300625268)×R²
    abs(1.76014708-1.76005121)×3.44058582111839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44058582111839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44058582111839e-05×40589641000000     		ar = 56659.4750929839m²