Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51126 / 48506
↖ ↑ ↗
← S 65.058235°
E100.843506°		 ← 257.57 m → S 65.058235°
E100.848999°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
S 65.060551°
E100.843506°		 ← 257.54 m →
66 325 m²		 S 65.060551°
E100.848999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780128479003906 y=0.740150451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780128479003906 × 216)
    floor (0.780128479003906 × 65536)
    floor (51126.5)     		tx = 51126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740150451660156 × 216)
    floor (0.740150451660156 × 65536)
    floor (48506.5)     		ty = 48506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51126 / 48506 ti = "16/51126/48506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51126/48506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51126 ÷ 216
    51126 ÷ 65536     		x = 0.780120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48506 ÷ 216
    48506 ÷ 65536     		y = 0.740142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780120849609375 × 2 - 1) × π
    0.56024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76005121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.48028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50886185244089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76005121} λ = 1.76005121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50886185244089))-π/2
    2×atan(0.221161549247043)-π/2
    2×0.217657960184857-π/2
    0.435315920369714-1.57079632675     		φ = -1.13548041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76005121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13548041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.058235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51126 KachelY 48506 1.76005121 -1.13548041 100.843506 -65.058235
    Oben rechts KachelX + 1 51127 KachelY 48506 1.76014708 -1.13548041 100.848999 -65.058235
    Unten links KachelX 51126 KachelY + 1 48507 1.76005121 -1.13552083 100.843506 -65.060551
    Unten rechts KachelX + 1 51127 KachelY + 1 48507 1.76014708 -1.13552083 100.848999 -65.060551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13548041--1.13552083) × R
    4.041999999993e-05 × 6371000     		dl = 257.515819999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13548041--1.13552083) × R
    4.041999999993e-05 × 6371000     		dr = 257.515819999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76005121-1.76014708) × cos(-1.13548041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421696875809934 × 6371000     		do = 257.567294391911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76005121-1.76014708) × cos(-1.13552083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421660225161324 × 6371000     		du = 257.544908623977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13548041)-sin(-1.13552083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421696875809934-0.421660225161324)×R²
    abs(1.76014708-1.76005121)×3.6650648610026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6650648610026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6650648610026e-05×40589641000000     		ar = 66324.7706845656m²