Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51126 / 48047
↖ ↑ ↗
← S 63.973550°
E100.843506°		 ← 268.01 m → S 63.973550°
E100.848999°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 63.975961°
E100.843506°		 ← 267.98 m →
71 830 m²		 S 63.975961°
E100.848999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780128479003906 y=0.733146667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780128479003906 × 216)
    floor (0.780128479003906 × 65536)
    floor (51126.5)     		tx = 51126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733146667480469 × 216)
    floor (0.733146667480469 × 65536)
    floor (48047.5)     		ty = 48047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51126 / 48047 ti = "16/51126/48047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51126/48047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51126 ÷ 216
    51126 ÷ 65536     		x = 0.780120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48047 ÷ 216
    48047 ÷ 65536     		y = 0.733139038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780120849609375 × 2 - 1) × π
    0.56024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76005121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733139038085938 × 2 - 1) × π
    -0.466278076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46485577858968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76005121} λ = 1.76005121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46485577858968))-π/2
    2×atan(0.231111320274461)-π/2
    2×0.227123616545209-π/2
    0.454247233090418-1.57079632675     		φ = -1.11654909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76005121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11654909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.973550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51126 KachelY 48047 1.76005121 -1.11654909 100.843506 -63.973550
    Oben rechts KachelX + 1 51127 KachelY 48047 1.76014708 -1.11654909 100.848999 -63.973550
    Unten links KachelX 51126 KachelY + 1 48048 1.76005121 -1.11659116 100.843506 -63.975961
    Unten rechts KachelX + 1 51127 KachelY + 1 48048 1.76014708 -1.11659116 100.848999 -63.975961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11654909--1.11659116) × R
    4.20700000001162e-05 × 6371000     		dl = 268.02797000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11654909--1.11659116) × R
    4.20700000001162e-05 × 6371000     		dr = 268.02797000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76005121-1.76014708) × cos(-1.11654909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438786011507931 × 6371000     		do = 268.005129476118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76005121-1.76014708) × cos(-1.11659116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438748207371673 × 6371000     		du = 267.982039172036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11654909)-sin(-1.11659116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438786011507931-0.438748207371673)×R²
    abs(1.76014708-1.76005121)×3.7804136257924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7804136257924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7804136257924e-05×40589641000000     		ar = 71829.7763901962m²