Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51125 / 48049
↖ ↑ ↗
← S 63.978371°
E100.838013°		 ← 267.99 m → S 63.978371°
E100.843506°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 63.980781°
E100.838013°		 ← 267.96 m →
71 808 m²		 S 63.980781°
E100.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780113220214844 y=0.733177185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780113220214844 × 216)
    floor (0.780113220214844 × 65536)
    floor (51125.5)     		tx = 51125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733177185058594 × 216)
    floor (0.733177185058594 × 65536)
    floor (48049.5)     		ty = 48049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51125 / 48049 ti = "16/51125/48049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51125/48049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51125 ÷ 216
    51125 ÷ 65536     		x = 0.780105590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48049 ÷ 216
    48049 ÷ 65536     		y = 0.733169555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780105590820312 × 2 - 1) × π
    0.560211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75995533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733169555664062 × 2 - 1) × π
    -0.466339111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46504752618816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75995533} λ = 1.75995533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46504752618816))-π/2
    2×atan(0.231067009482197)-π/2
    2×0.227081552087617-π/2
    0.454163104175233-1.57079632675     		φ = -1.11663322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75995533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11663322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.978371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51125 KachelY 48049 1.75995533 -1.11663322 100.838013 -63.978371
    Oben rechts KachelX + 1 51126 KachelY 48049 1.76005121 -1.11663322 100.843506 -63.978371
    Unten links KachelX 51125 KachelY + 1 48050 1.75995533 -1.11667528 100.838013 -63.980781
    Unten rechts KachelX + 1 51126 KachelY + 1 48050 1.76005121 -1.11667528 100.843506 -63.980781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11663322--1.11667528) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11663322--1.11667528) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75995533-1.76005121) × cos(-1.11663322) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.438710411445166 × 6371000     		do = 267.986904123134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75995533-1.76005121) × cos(-1.11667528) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.438672614742562 × 6371000     		du = 267.963815951409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11663322)-sin(-1.11667528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438710411445166-0.438672614742562)×R²
    abs(1.76005121-1.75995533)×3.77967026044534e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.77967026044534e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.77967026044534e-05×40589641000000     		ar = 71807.8190610776m²