Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51124 / 81684
↖ ↑ ↗
← S 40.488738°
W 39.583740°		 ← 232.29 m → S 40.488738°
W 39.580994°		 →
↑
232.22 m
↓
↑
232.22 m
↓
S 40.490826°
W 39.583740°		 ← 232.28 m →
53 941 m²		 S 40.490826°
W 39.580994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390048980712891 y=0.623203277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390048980712891 × 217)
    floor (0.390048980712891 × 131072)
    floor (51124.5)     		tx = 51124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623203277587891 × 217)
    floor (0.623203277587891 × 131072)
    floor (81684.5)     		ty = 81684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51124 / 81684 ti = "17/51124/81684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51124/81684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51124 ÷ 217
    51124 ÷ 131072     		x = 0.390045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81684 ÷ 217
    81684 ÷ 131072     		y = 0.623199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.21990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.69086660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.24639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.774085055064667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69086660} λ = -0.69086660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774085055064667))-π/2
    2×atan(0.461125492482054)-π/2
    2×0.432067274419719-π/2
    0.864134548839438-1.57079632675     		φ = -0.70666178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69086660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.583740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70666178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.488738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51124 KachelY 81684 -0.69086660 -0.70666178 -39.583740 -40.488738
    Oben rechts KachelX + 1 51125 KachelY 81684 -0.69081866 -0.70666178 -39.580994 -40.488738
    Unten links KachelX 51124 KachelY + 1 81685 -0.69086660 -0.70669823 -39.583740 -40.490826
    Unten rechts KachelX + 1 51125 KachelY + 1 81685 -0.69081866 -0.70669823 -39.580994 -40.490826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70666178--0.70669823) × R
    3.64499999999657e-05 × 6371000     		dl = 232.222949999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70666178--0.70669823) × R
    3.64499999999657e-05 × 6371000     		dr = 232.222949999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69086660--0.69081866) × cos(-0.70666178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760533611000686 × 6371000     		do = 232.286540934604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69086660--0.69081866) × cos(-0.70669823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760509943562773 × 6371000     		du = 232.279312289866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70666178)-sin(-0.70669823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760533611000686-0.760509943562773)×R²
    abs(-0.69081866--0.69086660)×2.36674379131552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36674379131552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36674379131552e-05×40589641000000     		ar = 53941.4264585407m²