Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51124 / 48539
↖ ↑ ↗
← S 65.134568°
E100.832520°		 ← 256.83 m → S 65.134568°
E100.838013°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 65.136878°
E100.832520°		 ← 256.81 m →
65 971 m²		 S 65.136878°
E100.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780097961425781 y=0.740653991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780097961425781 × 216)
    floor (0.780097961425781 × 65536)
    floor (51124.5)     		tx = 51124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740653991699219 × 216)
    floor (0.740653991699219 × 65536)
    floor (48539.5)     		ty = 48539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51124 / 48539 ti = "16/51124/48539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51124/48539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51124 ÷ 216
    51124 ÷ 65536     		x = 0.78009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48539 ÷ 216
    48539 ÷ 65536     		y = 0.740646362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78009033203125 × 2 - 1) × π
    0.5601806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75985946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740646362304688 × 2 - 1) × π
    -0.481292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51202568781581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75985946} λ = 1.75985946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51202568781581))-π/2
    2×atan(0.220462936244978)-π/2
    2×0.216991826578244-π/2
    0.433983653156487-1.57079632675     		φ = -1.13681267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75985946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.832520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13681267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.134568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51124 KachelY 48539 1.75985946 -1.13681267 100.832520 -65.134568
    Oben rechts KachelX + 1 51125 KachelY 48539 1.75995533 -1.13681267 100.838013 -65.134568
    Unten links KachelX 51124 KachelY + 1 48540 1.75985946 -1.13685299 100.832520 -65.136878
    Unten rechts KachelX + 1 51125 KachelY + 1 48540 1.75995533 -1.13685299 100.838013 -65.136878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13681267--1.13685299) × R
    4.03199999998716e-05 × 6371000     		dl = 256.878719999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13681267--1.13685299) × R
    4.03199999998716e-05 × 6371000     		dr = 256.878719999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75985946-1.75995533) × cos(-1.13681267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		do = 256.829228749337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75985946-1.75995533) × cos(-1.13685299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420451910079303 × 6371000     		du = 256.806884549573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13681267)-sin(-1.13685299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420488492671265-0.420451910079303)×R²
    abs(1.75995533-1.75985946)×3.6582591961265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6582591961265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6582591961265e-05×40589641000000     		ar = 65971.0936737437m²