Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51122 / 48536
↖ ↑ ↗
← S 65.127638°
E100.821533°		 ← 256.92 m → S 65.127638°
E100.827027°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 65.129948°
E100.821533°		 ← 256.90 m →
65 995 m²		 S 65.129948°
E100.827027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780067443847656 y=0.740608215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780067443847656 × 216)
    floor (0.780067443847656 × 65536)
    floor (51122.5)     		tx = 51122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740608215332031 × 216)
    floor (0.740608215332031 × 65536)
    floor (48536.5)     		ty = 48536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51122 / 48536 ti = "16/51122/48536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51122/48536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51122 ÷ 216
    51122 ÷ 65536     		x = 0.780059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48536 ÷ 216
    48536 ÷ 65536     		y = 0.7406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    0.56011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75966771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75966771} λ = 1.75966771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51173806641809))-π/2
    2×atan(0.220526355222737)-π/2
    2×0.217052305212472-π/2
    0.434104610424945-1.57079632675     		φ = -1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75966771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51122 KachelY 48536 1.75966771 -1.13669172 100.821533 -65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 51123 KachelY 48536 1.75976359 -1.13669172 100.827027 -65.127638
    Unten links KachelX 51122 KachelY + 1 48537 1.75966771 -1.13673204 100.821533 -65.129948
    Unten rechts KachelX + 1 51123 KachelY + 1 48537 1.75976359 -1.13673204 100.827027 -65.129948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13669172--1.13673204) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dl = 256.878720000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13669172--1.13673204) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dr = 256.878720000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75966771-1.75976359) × cos(-1.13669172) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 256.923049614863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75966771-1.75976359) × cos(-1.13673204) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420561646731721 × 6371000     		du = 256.90070433714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13669172)-sin(-1.13673204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420561646731721)×R²
    abs(1.75976359-1.75966771)×3.65805411851605e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65805411851605e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65805411851605e-05×40589641000000     		ar = 65995.1941196863m²