Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51122 / 48198
↖ ↑ ↗
← S 64.335150°
E100.821533°		 ← 264.56 m → S 64.335150°
E100.827027°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 64.337529°
E100.821533°		 ← 264.54 m →
69 980 m²		 S 64.337529°
E100.827027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780067443847656 y=0.735450744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780067443847656 × 216)
    floor (0.780067443847656 × 65536)
    floor (51122.5)     		tx = 51122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735450744628906 × 216)
    floor (0.735450744628906 × 65536)
    floor (48198.5)     		ty = 48198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51122 / 48198 ti = "16/51122/48198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51122/48198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51122 ÷ 216
    51122 ÷ 65536     		x = 0.780059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48198 ÷ 216
    48198 ÷ 65536     		y = 0.735443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    0.56011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75966771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.47088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47933272227493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75966771} λ = 1.75966771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47933272227493))-π/2
    2×atan(0.22778963663286)-π/2
    2×0.223968067084431-π/2
    0.447936134168862-1.57079632675     		φ = -1.12286019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75966771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12286019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.335150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51122 KachelY 48198 1.75966771 -1.12286019 100.821533 -64.335150
    Oben rechts KachelX + 1 51123 KachelY 48198 1.75976359 -1.12286019 100.827027 -64.335150
    Unten links KachelX 51122 KachelY + 1 48199 1.75966771 -1.12290171 100.821533 -64.337529
    Unten rechts KachelX + 1 51123 KachelY + 1 48199 1.75976359 -1.12290171 100.827027 -64.337529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12286019--1.12290171) × R
    4.15200000001281e-05 × 6371000     		dl = 264.523920000816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12286019--1.12290171) × R
    4.15200000001281e-05 × 6371000     		dr = 264.523920000816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75966771-1.75976359) × cos(-1.12286019) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		do = 264.563569017271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75966771-1.75976359) × cos(-1.12290171) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.433068785283291 × 6371000     		du = 264.540708431927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12286019)-sin(-1.12290171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43310620941353-0.433068785283291)×R²
    abs(1.75976359-1.75966771)×3.74241302388278e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.74241302388278e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.74241302388278e-05×40589641000000     		ar = 69980.3687898093m²