Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51121 / 49413
↖ ↑ ↗
← S 67.078133°
E100.816040°		 ← 237.89 m → S 67.078133°
E100.821533°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
S 67.080273°
E100.816040°		 ← 237.87 m →
56 589 m²		 S 67.080273°
E100.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780052185058594 y=0.753990173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780052185058594 × 216)
    floor (0.780052185058594 × 65536)
    floor (51121.5)     		tx = 51121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753990173339844 × 216)
    floor (0.753990173339844 × 65536)
    floor (49413.5)     		ty = 49413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51121 / 49413 ti = "16/51121/49413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51121/49413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51121 ÷ 216
    51121 ÷ 65536     		x = 0.780044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49413 ÷ 216
    49413 ÷ 65536     		y = 0.753982543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780044555664062 × 2 - 1) × π
    0.560089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75957184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753982543945312 × 2 - 1) × π
    -0.507965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59581938835167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75957184} λ = 1.75957184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59581938835167))-π/2
    2×atan(0.20274233571535)-π/2
    2×0.200031025138442-π/2
    0.400062050276883-1.57079632675     		φ = -1.17073428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75957184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17073428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.078133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51121 KachelY 49413 1.75957184 -1.17073428 100.816040 -67.078133
    Oben rechts KachelX + 1 51122 KachelY 49413 1.75966771 -1.17073428 100.821533 -67.078133
    Unten links KachelX 51121 KachelY + 1 49414 1.75957184 -1.17077162 100.816040 -67.080273
    Unten rechts KachelX + 1 51122 KachelY + 1 49414 1.75966771 -1.17077162 100.821533 -67.080273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17073428--1.17077162) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17073428--1.17077162) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75957184-1.75966771) × cos(-1.17073428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389475490441604 × 6371000     		do = 237.886866276478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75957184-1.75966771) × cos(-1.17077162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389441098654859 × 6371000     		du = 237.865860193746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17073428)-sin(-1.17077162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389475490441604-0.389441098654859)×R²
    abs(1.75966771-1.75957184)×3.43917867449139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43917867449139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43917867449139e-05×40589641000000     		ar = 56589.1549884272m²