Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51121 / 48457
↖ ↑ ↗
← S 64.944487°
E100.816040°		 ← 258.67 m → S 64.944487°
E100.821533°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
S 64.946813°
E100.816040°		 ← 258.64 m →
66 904 m²		 S 64.946813°
E100.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780052185058594 y=0.739402770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780052185058594 × 216)
    floor (0.780052185058594 × 65536)
    floor (51121.5)     		tx = 51121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739402770996094 × 216)
    floor (0.739402770996094 × 65536)
    floor (48457.5)     		ty = 48457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51121 / 48457 ti = "16/51121/48457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51121/48457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51121 ÷ 216
    51121 ÷ 65536     		x = 0.780044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48457 ÷ 216
    48457 ÷ 65536     		y = 0.739395141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780044555664062 × 2 - 1) × π
    0.560089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75957184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739395141601562 × 2 - 1) × π
    -0.478790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50416403627812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75957184} λ = 1.75957184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50416403627812))-π/2
    2×atan(0.22220296983361)-π/2
    2×0.218650599405292-π/2
    0.437301198810584-1.57079632675     		φ = -1.13349513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75957184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13349513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.944487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51121 KachelY 48457 1.75957184 -1.13349513 100.816040 -64.944487
    Oben rechts KachelX + 1 51122 KachelY 48457 1.75966771 -1.13349513 100.821533 -64.944487
    Unten links KachelX 51121 KachelY + 1 48458 1.75957184 -1.13353573 100.816040 -64.946813
    Unten rechts KachelX + 1 51122 KachelY + 1 48458 1.75966771 -1.13353573 100.821533 -64.946813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13349513--1.13353573) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13349513--1.13353573) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75957184-1.75966771) × cos(-1.13349513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		do = 258.66628138119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75957184-1.75966771) × cos(-1.13353573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423459390365703 × 6371000     		du = 258.643816727021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13349513)-sin(-1.13353573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423496170169215-0.423459390365703)×R²
    abs(1.75966771-1.75957184)×3.6779803512077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6779803512077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6779803512077e-05×40589641000000     		ar = 66904.387500936m²