Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51120 / 49776
↖ ↑ ↗
← S 67.842416°
E100.810547°		 ← 230.39 m → S 67.842416°
E100.816040°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
S 67.844488°
E100.810547°		 ← 230.37 m →
53 073 m²		 S 67.844488°
E100.816040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780036926269531 y=0.759529113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780036926269531 × 216)
    floor (0.780036926269531 × 65536)
    floor (51120.5)     		tx = 51120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759529113769531 × 216)
    floor (0.759529113769531 × 65536)
    floor (49776.5)     		ty = 49776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51120 / 49776 ti = "16/51120/49776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51120/49776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51120 ÷ 216
    51120 ÷ 65536     		x = 0.780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49776 ÷ 216
    49776 ÷ 65536     		y = 0.759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63062157747583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75947596} λ = 1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63062157747583))-π/2
    2×atan(0.195807826558476)-π/2
    2×0.193361393422256-π/2
    0.386722786844511-1.57079632675     		φ = -1.18407354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18407354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.842416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51120 KachelY 49776 1.75947596 -1.18407354 100.810547 -67.842416
    Oben rechts KachelX + 1 51121 KachelY 49776 1.75957184 -1.18407354 100.816040 -67.842416
    Unten links KachelX 51120 KachelY + 1 49777 1.75947596 -1.18410970 100.810547 -67.844488
    Unten rechts KachelX + 1 51121 KachelY + 1 49777 1.75957184 -1.18410970 100.816040 -67.844488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18407354--1.18410970) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dl = 230.3753600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18407354--1.18410970) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dr = 230.3753600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75947596-1.75957184) × cos(-1.18407354) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377155254730462 × 6371000     		do = 230.385845541729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75947596-1.75957184) × cos(-1.18410970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377121764898113 × 6371000     		du = 230.365388228073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18407354)-sin(-1.18410970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377155254730462-0.377121764898113)×R²
    abs(1.75957184-1.75947596)×3.34898323495203e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34898323495203e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34898323495203e-05×40589641000000     		ar = 53072.8656807296m²