Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51120 / 48208
↖ ↑ ↗
← S 64.358931°
E100.810547°		 ← 264.34 m → S 64.358931°
E100.816040°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
S 64.361308°
E100.810547°		 ← 264.31 m →
69 853 m²		 S 64.361308°
E100.816040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780036926269531 y=0.735603332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780036926269531 × 216)
    floor (0.780036926269531 × 65536)
    floor (51120.5)     		tx = 51120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735603332519531 × 216)
    floor (0.735603332519531 × 65536)
    floor (48208.5)     		ty = 48208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51120 / 48208 ti = "16/51120/48208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51120/48208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51120 ÷ 216
    51120 ÷ 65536     		x = 0.780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48208 ÷ 216
    48208 ÷ 65536     		y = 0.735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.47119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48029146026733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75947596} λ = 1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48029146026733))-π/2
    2×atan(0.227571350710169)-π/2
    2×0.223760539083422-π/2
    0.447521078166845-1.57079632675     		φ = -1.12327525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12327525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.358931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51120 KachelY 48208 1.75947596 -1.12327525 100.810547 -64.358931
    Oben rechts KachelX + 1 51121 KachelY 48208 1.75957184 -1.12327525 100.816040 -64.358931
    Unten links KachelX 51120 KachelY + 1 48209 1.75947596 -1.12331673 100.810547 -64.361308
    Unten rechts KachelX + 1 51121 KachelY + 1 48209 1.75957184 -1.12331673 100.816040 -64.361308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12327525--1.12331673) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dl = 264.269079999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12327525--1.12331673) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dr = 264.269079999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75947596-1.75957184) × cos(-1.12327525) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43273206073632 × 6371000     		do = 264.335019744058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75947596-1.75957184) × cos(-1.12331673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.432694665207404 × 6371000     		du = 264.312176629874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12327525)-sin(-1.12331673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43273206073632-0.432694665207404)×R²
    abs(1.75957184-1.75947596)×3.73955289162398e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73955289162398e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73955289162398e-05×40589641000000     		ar = 69852.5541250231m²