Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5112 / 1241
↖ ↑ ↗
← N 77.225360°
E 44.648437°		 ← 1 080.49 m → N 77.225360°
E 44.692383°		 →
↑
1 080.90 m
↓
↑
1 080.90 m
↓
N 77.215639°
E 44.648437°		 ← 1 081.29 m →
1 168 338 m²		 N 77.215639°
E 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62408447265625 y=0.15155029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62408447265625 × 213)
    floor (0.62408447265625 × 8192)
    floor (5112.5)     		tx = 5112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15155029296875 × 213)
    floor (0.15155029296875 × 8192)
    floor (1241.5)     		ty = 1241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5112 / 1241 ti = "13/5112/1241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5112/1241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5112 ÷ 213
    5112 ÷ 8192     		x = 0.6240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1241 ÷ 213
    1241 ÷ 8192     		y = 0.1514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1514892578125 × 2 - 1) × π
    0.697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18975757464416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77926224} λ = 0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18975757464416))-π/2
    2×atan(8.93304725502021)-π/2
    2×1.4593165644947-π/2
    2.9186331289894-1.57079632675     		φ = 1.34783680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34783680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.225360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5112 KachelY 1241 0.77926224 1.34783680 44.648437 77.225360
    Oben rechts KachelX + 1 5113 KachelY 1241 0.78002923 1.34783680 44.692383 77.225360
    Unten links KachelX 5112 KachelY + 1 1242 0.77926224 1.34766714 44.648437 77.215639
    Unten rechts KachelX + 1 5113 KachelY + 1 1242 0.78002923 1.34766714 44.692383 77.215639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34783680-1.34766714) × R
    0.000169660000000071 × 6371000     		dl = 1080.90386000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34783680-1.34766714) × R
    0.000169660000000071 × 6371000     		dr = 1080.90386000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77926224-0.78002923) × cos(1.34783680) × R
    0.000766990000000023 × 0.221116857801062 × 6371000     		do = 1080.48604195081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77926224-0.78002923) × cos(1.34766714) × R
    0.000766990000000023 × 0.221282315078211 × 6371000     		du = 1081.29454782538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34783680)-sin(1.34766714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221116857801062-0.221282315078211)×R²
    abs(0.78002923-0.77926224)×0.0001654572771492×R²
    0.000766990000000023×0.0001654572771492×6371000²
    0.000766990000000023×0.0001654572771492×40589641000000     		ar = 1168338.49478507m²