Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51118 / 49485
↖ ↑ ↗
← S 67.231685°
E100.799561°		 ← 236.38 m → S 67.231685°
E100.805054°		 →
↑
236.36 m
↓
↑
236.36 m
↓
S 67.233810°
E100.799561°		 ← 236.36 m →
55 869 m²		 S 67.233810°
E100.805054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780006408691406 y=0.755088806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780006408691406 × 216)
    floor (0.780006408691406 × 65536)
    floor (51118.5)     		tx = 51118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755088806152344 × 216)
    floor (0.755088806152344 × 65536)
    floor (49485.5)     		ty = 49485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51118 / 49485 ti = "16/51118/49485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51118/49485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51118 ÷ 216
    51118 ÷ 65536     		x = 0.779998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49485 ÷ 216
    49485 ÷ 65536     		y = 0.755081176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779998779296875 × 2 - 1) × π
    0.55999755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75928422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755081176757812 × 2 - 1) × π
    -0.510162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60272230189696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75928422} λ = 1.75928422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60272230189696))-π/2
    2×atan(0.201347642162562)-π/2
    2×0.198691033159282-π/2
    0.397382066318565-1.57079632675     		φ = -1.17341426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75928422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.799561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17341426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.231685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51118 KachelY 49485 1.75928422 -1.17341426 100.799561 -67.231685
    Oben rechts KachelX + 1 51119 KachelY 49485 1.75938009 -1.17341426 100.805054 -67.231685
    Unten links KachelX 51118 KachelY + 1 49486 1.75928422 -1.17345136 100.799561 -67.233810
    Unten rechts KachelX + 1 51119 KachelY + 1 49486 1.75938009 -1.17345136 100.805054 -67.233810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17341426--1.17345136) × R
    3.71000000001231e-05 × 6371000     		dl = 236.364100000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17341426--1.17345136) × R
    3.71000000001231e-05 × 6371000     		dr = 236.364100000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75928422-1.75938009) × cos(-1.17341426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387005734449831 × 6371000     		do = 236.378369521819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75928422-1.75938009) × cos(-1.17345136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386971525115381 × 6371000     		du = 236.357474878718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17341426)-sin(-1.17345136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387005734449831-0.386971525115381)×R²
    abs(1.75938009-1.75928422)×3.42093344498084e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42093344498084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42093344498084e-05×40589641000000     		ar = 55868.8912065154m²