Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51118 / 49483
↖ ↑ ↗
← S 67.227433°
E100.799561°		 ← 236.42 m → S 67.227433°
E100.805054°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 67.229559°
E100.799561°		 ← 236.40 m →
55 894 m²		 S 67.229559°
E100.805054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780006408691406 y=0.755058288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780006408691406 × 216)
    floor (0.780006408691406 × 65536)
    floor (51118.5)     		tx = 51118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755058288574219 × 216)
    floor (0.755058288574219 × 65536)
    floor (49483.5)     		ty = 49483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51118 / 49483 ti = "16/51118/49483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51118/49483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51118 ÷ 216
    51118 ÷ 65536     		x = 0.779998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49483 ÷ 216
    49483 ÷ 65536     		y = 0.755050659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779998779296875 × 2 - 1) × π
    0.55999755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75928422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755050659179688 × 2 - 1) × π
    -0.510101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60253055429848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75928422} λ = 1.75928422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60253055429848))-π/2
    2×atan(0.201386253791132)-π/2
    2×0.19872814014957-π/2
    0.39745628029914-1.57079632675     		φ = -1.17334005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75928422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.799561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17334005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.227433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51118 KachelY 49483 1.75928422 -1.17334005 100.799561 -67.227433
    Oben rechts KachelX + 1 51119 KachelY 49483 1.75938009 -1.17334005 100.805054 -67.227433
    Unten links KachelX 51118 KachelY + 1 49484 1.75928422 -1.17337716 100.799561 -67.229559
    Unten rechts KachelX + 1 51119 KachelY + 1 49484 1.75938009 -1.17337716 100.805054 -67.229559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17334005--1.17337716) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dl = 236.427810000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17334005--1.17337716) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dr = 236.427810000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75928422-1.75938009) × cos(-1.17334005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387074160741134 × 6371000     		do = 236.420163463693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75928422-1.75938009) × cos(-1.17337716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387039943251602 × 6371000     		du = 236.399263839568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17334005)-sin(-1.17337716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387074160741134-0.387039943251602)×R²
    abs(1.75938009-1.75928422)×3.42174895313629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42174895313629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42174895313629e-05×40589641000000     		ar = 55893.8308681058m²