Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51113 / 48382
↖ ↑ ↗
← S 64.769443°
E100.772095°		 ← 260.36 m → S 64.769443°
E100.777588°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
S 64.771784°
E100.772095°		 ← 260.33 m →
67 773 m²		 S 64.771784°
E100.777588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779930114746094 y=0.738258361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779930114746094 × 216)
    floor (0.779930114746094 × 65536)
    floor (51113.5)     		tx = 51113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738258361816406 × 216)
    floor (0.738258361816406 × 65536)
    floor (48382.5)     		ty = 48382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51113 / 48382 ti = "16/51113/48382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51113/48382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51113 ÷ 216
    51113 ÷ 65536     		x = 0.779922485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48382 ÷ 216
    48382 ÷ 65536     		y = 0.738250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779922485351562 × 2 - 1) × π
    0.559844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75880485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.47650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49697350133511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75880485} λ = 1.75880485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49697350133511))-π/2
    2×atan(0.223806486213937)-π/2
    2×0.220178148795531-π/2
    0.440356297591062-1.57079632675     		φ = -1.13044003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75880485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.772095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13044003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.769443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51113 KachelY 48382 1.75880485 -1.13044003 100.772095 -64.769443
    Oben rechts KachelX + 1 51114 KachelY 48382 1.75890072 -1.13044003 100.777588 -64.769443
    Unten links KachelX 51113 KachelY + 1 48383 1.75880485 -1.13048089 100.772095 -64.771784
    Unten rechts KachelX + 1 51114 KachelY + 1 48383 1.75890072 -1.13048089 100.777588 -64.771784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13044003--1.13048089) × R
    4.08600000001424e-05 × 6371000     		dl = 260.319060000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13044003--1.13048089) × R
    4.08600000001424e-05 × 6371000     		dr = 260.319060000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75880485-1.75890072) × cos(-1.13044003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426261798141007 × 6371000     		do = 260.35549312273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75880485-1.75890072) × cos(-1.13048089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426224835835523 × 6371000     		du = 260.332916998589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13044003)-sin(-1.13048089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426261798141007-0.426224835835523)×R²
    abs(1.75890072-1.75880485)×3.69623054841117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69623054841117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69623054841117e-05×40589641000000     		ar = 67772.5587475501m²