Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51112 / 49697
↖ ↑ ↗
← S 67.678171°
E100.766601°		 ← 232.01 m → S 67.678171°
E100.772095°		 →
↑
231.97 m
↓
↑
231.97 m
↓
S 67.680257°
E100.766601°		 ← 231.99 m →
53 816 m²		 S 67.680257°
E100.772095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779914855957031 y=0.758323669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779914855957031 × 216)
    floor (0.779914855957031 × 65536)
    floor (51112.5)     		tx = 51112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758323669433594 × 216)
    floor (0.758323669433594 × 65536)
    floor (49697.5)     		ty = 49697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51112 / 49697 ti = "16/51112/49697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51112/49697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51112 ÷ 216
    51112 ÷ 65536     		x = 0.7799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49697 ÷ 216
    49697 ÷ 65536     		y = 0.758316040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7799072265625 × 2 - 1) × π
    0.559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75870897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758316040039062 × 2 - 1) × π
    -0.516632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62304754733586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75870897} λ = 1.75870897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62304754733586))-π/2
    2×atan(0.197296511494114)-π/2
    2×0.194794705344045-π/2
    0.389589410688089-1.57079632675     		φ = -1.18120692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75870897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.766601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18120692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.678171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51112 KachelY 49697 1.75870897 -1.18120692 100.766601 -67.678171
    Oben rechts KachelX + 1 51113 KachelY 49697 1.75880485 -1.18120692 100.772095 -67.678171
    Unten links KachelX 51112 KachelY + 1 49698 1.75870897 -1.18124333 100.766601 -67.680257
    Unten rechts KachelX + 1 51113 KachelY + 1 49698 1.75880485 -1.18124333 100.772095 -67.680257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18120692--1.18124333) × R
    3.64100000000978e-05 × 6371000     		dl = 231.968110000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18120692--1.18124333) × R
    3.64100000000978e-05 × 6371000     		dr = 231.968110000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75870897-1.75880485) × cos(-1.18120692) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379808621711146 × 6371000     		do = 232.006658688862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75870897-1.75880485) × cos(-1.18124333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379774939839667 × 6371000     		du = 231.986084067819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18120692)-sin(-1.18124333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379808621711146-0.379774939839667)×R²
    abs(1.75880485-1.75870897)×3.36818714793408e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36818714793408e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36818714793408e-05×40589641000000     		ar = 53815.7598017126m²