Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51111 / 49695
↖ ↑ ↗
← S 67.673998°
E100.761108°		 ← 232.02 m → S 67.673998°
E100.766601°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 67.676085°
E100.761108°		 ← 232 m →
53 834 m²		 S 67.676085°
E100.766601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779899597167969 y=0.758293151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779899597167969 × 216)
    floor (0.779899597167969 × 65536)
    floor (51111.5)     		tx = 51111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758293151855469 × 216)
    floor (0.758293151855469 × 65536)
    floor (49695.5)     		ty = 49695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51111 / 49695 ti = "16/51111/49695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51111/49695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51111 ÷ 216
    51111 ÷ 65536     		x = 0.779891967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49695 ÷ 216
    49695 ÷ 65536     		y = 0.758285522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779891967773438 × 2 - 1) × π
    0.559783935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75861310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.516571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62285579973738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75861310} λ = 1.75861310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62285579973738))-π/2
    2×atan(0.197334346253628)-π/2
    2×0.194831122269609-π/2
    0.389662244539218-1.57079632675     		φ = -1.18113408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75861310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.761108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18113408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.673998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51111 KachelY 49695 1.75861310 -1.18113408 100.761108 -67.673998
    Oben rechts KachelX + 1 51112 KachelY 49695 1.75870897 -1.18113408 100.766601 -67.673998
    Unten links KachelX 51111 KachelY + 1 49696 1.75861310 -1.18117050 100.761108 -67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 51112 KachelY + 1 49696 1.75870897 -1.18117050 100.766601 -67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18113408--1.18117050) × R
    3.64199999998149e-05 × 6371000     		dl = 232.031819998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18113408--1.18117050) × R
    3.64199999998149e-05 × 6371000     		dr = 232.031819998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75861310-1.75870897) × cos(-1.18113408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379876002444285 × 6371000     		do = 232.023616409454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75861310-1.75870897) × cos(-1.18117050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 232.003038899453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18113408)-sin(-1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379876002444285-0.37984231232963)×R²
    abs(1.75870897-1.75861310)×3.36901146547608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36901146547608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36901146547608e-05×40589641000000     		ar = 53834.4746852246m²