Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5111 / 1240
↖ ↑ ↗
← N 77.235073°
E 44.604492°		 ← 1 079.68 m → N 77.235073°
E 44.648437°		 →
↑
1 080.08 m
↓
↑
1 080.08 m
↓
N 77.225360°
E 44.604492°		 ← 1 080.49 m →
1 166 570 m²		 N 77.225360°
E 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62396240234375 y=0.15142822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62396240234375 × 213)
    floor (0.62396240234375 × 8192)
    floor (5111.5)     		tx = 5111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15142822265625 × 213)
    floor (0.15142822265625 × 8192)
    floor (1240.5)     		ty = 1240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5111 / 1240 ti = "13/5111/1240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5111/1240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5111 ÷ 213
    5111 ÷ 8192     		x = 0.6239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1240 ÷ 213
    1240 ÷ 8192     		y = 0.1513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6239013671875 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1513671875 × 2 - 1) × π
    0.697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19052456503809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77849525} λ = 0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19052456503809))-π/2
    2×atan(8.93990144466605)-π/2
    2×1.45940133003991-π/2
    2.91880266007983-1.57079632675     		φ = 1.34800633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34800633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.235073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5111 KachelY 1240 0.77849525 1.34800633 44.604492 77.235073
    Oben rechts KachelX + 1 5112 KachelY 1240 0.77926224 1.34800633 44.648437 77.235073
    Unten links KachelX 5111 KachelY + 1 1241 0.77849525 1.34783680 44.604492 77.225360
    Unten rechts KachelX + 1 5112 KachelY + 1 1241 0.77926224 1.34783680 44.648437 77.225360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34800633-1.34783680) × R
    0.000169529999999973 × 6371000     		dl = 1080.07562999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34800633-1.34783680) × R
    0.000169529999999973 × 6371000     		dr = 1080.07562999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77849525-0.77926224) × cos(1.34800633) × R
    0.000766990000000023 × 0.220951520946196 × 6371000     		do = 1079.67812451891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77849525-0.77926224) × cos(1.34783680) × R
    0.000766990000000023 × 0.221116857801062 × 6371000     		du = 1080.48604195081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34800633)-sin(1.34783680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220951520946196-0.221116857801062)×R²
    abs(0.77926224-0.77849525)×0.000165336854865916×R²
    0.000766990000000023×0.000165336854865916×6371000²
    0.000766990000000023×0.000165336854865916×40589641000000     		ar = 1166570.33929291m²