Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51103 / 48381
↖ ↑ ↗
← S 64.767101°
E100.717163°		 ← 260.38 m → S 64.767101°
E100.722656°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
S 64.769443°
E100.717163°		 ← 260.36 m →
67 795 m²		 S 64.769443°
E100.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779777526855469 y=0.738243103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779777526855469 × 216)
    floor (0.779777526855469 × 65536)
    floor (51103.5)     		tx = 51103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738243103027344 × 216)
    floor (0.738243103027344 × 65536)
    floor (48381.5)     		ty = 48381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51103 / 48381 ti = "16/51103/48381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51103/48381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51103 ÷ 216
    51103 ÷ 65536     		x = 0.779769897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48381 ÷ 216
    48381 ÷ 65536     		y = 0.738235473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779769897460938 × 2 - 1) × π
    0.559539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75784611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738235473632812 × 2 - 1) × π
    -0.476470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49687762753587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75784611} λ = 1.75784611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49687762753587))-π/2
    2×atan(0.223827944420689)-π/2
    2×0.220198583350694-π/2
    0.440397166701389-1.57079632675     		φ = -1.13039916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75784611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.717163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13039916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.767101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51103 KachelY 48381 1.75784611 -1.13039916 100.717163 -64.767101
    Oben rechts KachelX + 1 51104 KachelY 48381 1.75794198 -1.13039916 100.722656 -64.767101
    Unten links KachelX 51103 KachelY + 1 48382 1.75784611 -1.13044003 100.717163 -64.769443
    Unten rechts KachelX + 1 51104 KachelY + 1 48382 1.75794198 -1.13044003 100.722656 -64.769443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13039916--1.13044003) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dl = 260.382769999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13039916--1.13044003) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dr = 260.382769999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75784611-1.75794198) × cos(-1.13039916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426298768780654 × 6371000     		do = 260.378074337276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75784611-1.75794198) × cos(-1.13044003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426261798141007 × 6371000     		du = 260.35549312273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13039916)-sin(-1.13044003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426298768780654-0.426261798141007)×R²
    abs(1.75794198-1.75784611)×3.69706396471936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69706396471936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69706396471936e-05×40589641000000     		ar = 67795.0243727805m²