Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51101 / 82095
↖ ↑ ↗
← S 41.341762°
W 39.646912°		 ← 229.31 m → S 41.341762°
W 39.644165°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 41.343824°
W 39.646912°		 ← 229.30 m →
52 578 m²		 S 41.343824°
W 39.644165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389873504638672 y=0.626338958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389873504638672 × 217)
    floor (0.389873504638672 × 131072)
    floor (51101.5)     		tx = 51101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626338958740234 × 217)
    floor (0.626338958740234 × 131072)
    floor (82095.5)     		ty = 82095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51101 / 82095 ti = "17/51101/82095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51101/82095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51101 ÷ 217
    51101 ÷ 131072     		x = 0.389869689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82095 ÷ 217
    82095 ÷ 131072     		y = 0.626335144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389869689941406 × 2 - 1) × π
    -0.220260620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.69196915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626335144042969 × 2 - 1) × π
    -0.252670288085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.79378712080851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69196915} λ = -0.69196915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79378712080851))-π/2
    2×atan(0.452129280695169)-π/2
    2×0.424623226068102-π/2
    0.849246452136204-1.57079632675     		φ = -0.72154987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69196915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.646912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72154987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.341762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51101 KachelY 82095 -0.69196915 -0.72154987 -39.646912 -41.341762
    Oben rechts KachelX + 1 51102 KachelY 82095 -0.69192121 -0.72154987 -39.644165 -41.341762
    Unten links KachelX 51101 KachelY + 1 82096 -0.69196915 -0.72158586 -39.646912 -41.343824
    Unten rechts KachelX + 1 51102 KachelY + 1 82096 -0.69192121 -0.72158586 -39.644165 -41.343824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72154987--0.72158586) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72154987--0.72158586) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69196915--0.69192121) × cos(-0.72154987) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750782866073519 × 6371000     		do = 229.308412450206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69196915--0.69192121) × cos(-0.72158586) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.750759092425873 × 6371000     		du = 229.301151366281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72154987)-sin(-0.72158586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750782866073519-0.750759092425873)×R²
    abs(-0.69192121--0.69196915)×2.37736476461636e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37736476461636e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37736476461636e-05×40589641000000     		ar = 52577.8185573093m²