Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5110 / 1086
↖ ↑ ↗
← N 78.647320°
E 44.560547°		 ← 961.89 m → N 78.647320°
E 44.604492°		 →
↑
962.28 m
↓
↑
962.28 m
↓
N 78.638666°
E 44.560547°		 ← 962.62 m →
925 956 m²		 N 78.638666°
E 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62384033203125 y=0.13262939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62384033203125 × 213)
    floor (0.62384033203125 × 8192)
    floor (5110.5)     		tx = 5110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13262939453125 × 213)
    floor (0.13262939453125 × 8192)
    floor (1086.5)     		ty = 1086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5110 / 1086 ti = "13/5110/1086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5110/1086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5110 ÷ 213
    5110 ÷ 8192     		x = 0.623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1086 ÷ 213
    1086 ÷ 8192     		y = 0.132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132568359375 × 2 - 1) × π
    0.73486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3086410857019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77772826} λ = 0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3086410857019))-π/2
    2×atan(10.0607436730511)-π/2
    2×1.47172550127161-π/2
    2.94345100254323-1.57079632675     		φ = 1.37265468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37265468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.647320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5110 KachelY 1086 0.77772826 1.37265468 44.560547 78.647320
    Oben rechts KachelX + 1 5111 KachelY 1086 0.77849525 1.37265468 44.604492 78.647320
    Unten links KachelX 5110 KachelY + 1 1087 0.77772826 1.37250364 44.560547 78.638666
    Unten rechts KachelX + 1 5111 KachelY + 1 1087 0.77849525 1.37250364 44.604492 78.638666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37265468-1.37250364) × R
    0.000151039999999991 × 6371000     		dl = 962.275839999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37265468-1.37250364) × R
    0.000151039999999991 × 6371000     		dr = 962.275839999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77772826-0.77849525) × cos(1.37265468) × R
    0.000766990000000023 × 0.196847678927376 × 6371000     		do = 961.894862230728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77772826-0.77849525) × cos(1.37250364) × R
    0.000766990000000023 × 0.196995761445373 × 6371000     		du = 962.618466461287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37265468)-sin(1.37250364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196847678927376-0.196995761445373)×R²
    abs(0.77849525-0.77772826)×0.000148082517997056×R²
    0.000766990000000023×0.000148082517997056×6371000²
    0.000766990000000023×0.000148082517997056×40589641000000     		ar = 925956.341738729m²