Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51099 / 81783
↖ ↑ ↗
← S 40.695217°
W 39.652405°		 ← 231.57 m → S 40.695217°
W 39.649658°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
S 40.697299°
W 39.652405°		 ← 231.56 m →
53 613 m²		 S 40.697299°
W 39.649658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389858245849609 y=0.623958587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389858245849609 × 217)
    floor (0.389858245849609 × 131072)
    floor (51099.5)     		tx = 51099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623958587646484 × 217)
    floor (0.623958587646484 × 131072)
    floor (81783.5)     		ty = 81783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51099 / 81783 ti = "17/51099/81783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51099/81783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51099 ÷ 217
    51099 ÷ 131072     		x = 0.389854431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81783 ÷ 217
    81783 ÷ 131072     		y = 0.623954772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389854431152344 × 2 - 1) × π
    -0.220291137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.69206502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623954772949219 × 2 - 1) × π
    -0.247909545898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.778830808127052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69206502} λ = -0.69206502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778830808127052))-π/2
    2×atan(0.458942289333016)-π/2
    2×0.430265403546802-π/2
    0.860530807093603-1.57079632675     		φ = -0.71026552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69206502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.652405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71026552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.695217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51099 KachelY 81783 -0.69206502 -0.71026552 -39.652405 -40.695217
    Oben rechts KachelX + 1 51100 KachelY 81783 -0.69201708 -0.71026552 -39.649658 -40.695217
    Unten links KachelX 51099 KachelY + 1 81784 -0.69206502 -0.71030186 -39.652405 -40.697299
    Unten rechts KachelX + 1 51100 KachelY + 1 81784 -0.69201708 -0.71030186 -39.649658 -40.697299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71026552--0.71030186) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71026552--0.71030186) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69206502--0.69201708) × cos(-0.71026552) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.758188774357074 × 6371000     		do = 231.570367468087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69206502--0.69201708) × cos(-0.71030186) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.758165078900614 × 6371000     		du = 231.563130265763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71026552)-sin(-0.71030186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758188774357074-0.758165078900614)×R²
    abs(-0.69201708--0.69206502)×2.36954564603042e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36954564603042e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36954564603042e-05×40589641000000     		ar = 53612.8292562939m²