Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51099 / 48225
↖ ↑ ↗
← S 64.399311°
E100.695190°		 ← 263.95 m → S 64.399311°
E100.700684°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 64.401685°
E100.695190°		 ← 263.92 m →
69 666 m²		 S 64.401685°
E100.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779716491699219 y=0.735862731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779716491699219 × 216)
    floor (0.779716491699219 × 65536)
    floor (51099.5)     		tx = 51099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735862731933594 × 216)
    floor (0.735862731933594 × 65536)
    floor (48225.5)     		ty = 48225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51099 / 48225 ti = "16/51099/48225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51099/48225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51099 ÷ 216
    51099 ÷ 65536     		x = 0.779708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48225 ÷ 216
    48225 ÷ 65536     		y = 0.735855102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779708862304688 × 2 - 1) × π
    0.559417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75746261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735855102539062 × 2 - 1) × π
    -0.471710205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48192131485442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75746261} λ = 1.75746261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48192131485442))-π/2
    2×atan(0.227200744599401)-π/2
    2×0.223408152897381-π/2
    0.446816305794762-1.57079632675     		φ = -1.12398002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75746261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.695190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12398002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.399311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51099 KachelY 48225 1.75746261 -1.12398002 100.695190 -64.399311
    Oben rechts KachelX + 1 51100 KachelY 48225 1.75755849 -1.12398002 100.700684 -64.399311
    Unten links KachelX 51099 KachelY + 1 48226 1.75746261 -1.12402145 100.695190 -64.401685
    Unten rechts KachelX + 1 51100 KachelY + 1 48226 1.75755849 -1.12402145 100.700684 -64.401685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12398002--1.12402145) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12398002--1.12402145) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75746261-1.75755849) × cos(-1.12398002) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.432096587250514 × 6371000     		do = 263.946839825364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75746261-1.75755849) × cos(-1.12402145) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.432059224173266 × 6371000     		du = 263.92401653433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12398002)-sin(-1.12402145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432096587250514-0.432059224173266)×R²
    abs(1.75755849-1.75746261)×3.73630772474987e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.73630772474987e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.73630772474987e-05×40589641000000     		ar = 69665.8961638359m²