Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51099 / 48221
↖ ↑ ↗
← S 64.389816°
E100.695190°		 ← 264.04 m → S 64.389816°
E100.700684°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 64.392190°
E100.695190°		 ← 264.02 m →
69 690 m²		 S 64.392190°
E100.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779716491699219 y=0.735801696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779716491699219 × 216)
    floor (0.779716491699219 × 65536)
    floor (51099.5)     		tx = 51099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735801696777344 × 216)
    floor (0.735801696777344 × 65536)
    floor (48221.5)     		ty = 48221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51099 / 48221 ti = "16/51099/48221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51099/48221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51099 ÷ 216
    51099 ÷ 65536     		x = 0.779708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48221 ÷ 216
    48221 ÷ 65536     		y = 0.735794067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779708862304688 × 2 - 1) × π
    0.559417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75746261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735794067382812 × 2 - 1) × π
    -0.471588134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48153781965746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75746261} λ = 1.75746261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48153781965746))-π/2
    2×atan(0.22728789170288)-π/2
    2×0.223491020708689-π/2
    0.446982041417378-1.57079632675     		φ = -1.12381429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75746261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.695190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12381429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.389816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51099 KachelY 48221 1.75746261 -1.12381429 100.695190 -64.389816
    Oben rechts KachelX + 1 51100 KachelY 48221 1.75755849 -1.12381429 100.700684 -64.389816
    Unten links KachelX 51099 KachelY + 1 48222 1.75746261 -1.12385572 100.695190 -64.392190
    Unten rechts KachelX + 1 51100 KachelY + 1 48222 1.75755849 -1.12385572 100.700684 -64.392190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12381429--1.12385572) × R
    4.14299999997869e-05 × 6371000     		dl = 263.950529998642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12381429--1.12385572) × R
    4.14299999997869e-05 × 6371000     		dr = 263.950529998642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75746261-1.75755849) × cos(-1.12381429) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.43224604115972 × 6371000     		do = 264.038133966994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75746261-1.75755849) × cos(-1.12385572) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.432208681049716 × 6371000     		du = 264.015312488505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12381429)-sin(-1.12385572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43224604115972-0.432208681049716)×R²
    abs(1.75755849-1.75746261)×3.73601100034926e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.73601100034926e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.73601100034926e-05×40589641000000     		ar = 69689.9935398332m²