Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51098 / 48503
↖ ↑ ↗
← S 65.051285°
E100.689697°		 ← 257.63 m → S 65.051285°
E100.695190°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
S 65.053602°
E100.689697°		 ← 257.61 m →
66 375 m²		 S 65.053602°
E100.695190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779701232910156 y=0.740104675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779701232910156 × 216)
    floor (0.779701232910156 × 65536)
    floor (51098.5)     		tx = 51098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740104675292969 × 216)
    floor (0.740104675292969 × 65536)
    floor (48503.5)     		ty = 48503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51098 / 48503 ti = "16/51098/48503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51098/48503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51098 ÷ 216
    51098 ÷ 65536     		x = 0.779693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48503 ÷ 216
    48503 ÷ 65536     		y = 0.740097045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740097045898438 × 2 - 1) × π
    -0.480194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50857423104317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75736674} λ = 1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50857423104317))-π/2
    2×atan(0.221225169189749)-π/2
    2×0.217718612616232-π/2
    0.435437225232463-1.57079632675     		φ = -1.13535910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13535910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.051285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51098 KachelY 48503 1.75736674 -1.13535910 100.689697 -65.051285
    Oben rechts KachelX + 1 51099 KachelY 48503 1.75746261 -1.13535910 100.695190 -65.051285
    Unten links KachelX 51098 KachelY + 1 48504 1.75736674 -1.13539954 100.689697 -65.053602
    Unten rechts KachelX + 1 51099 KachelY + 1 48504 1.75746261 -1.13539954 100.695190 -65.053602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13535910--1.13539954) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dl = 257.643240000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13535910--1.13539954) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dr = 257.643240000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75736674-1.75746261) × cos(-1.13535910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42180686895606 × 6371000     		do = 257.634476860348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75736674-1.75746261) × cos(-1.13539954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421770202241302 × 6371000     		du = 257.612081279408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13535910)-sin(-1.13539954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42180686895606-0.421770202241302)×R²
    abs(1.75746261-1.75736674)×3.6666714757938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6666714757938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6666714757938e-05×40589641000000     		ar = 66374.8963281247m²