Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51098 / 48485
↖ ↑ ↗
← S 65.009545°
E100.689697°		 ← 258.04 m → S 65.009545°
E100.695190°		 →
↑
258.03 m
↓
↑
258.03 m
↓
S 65.011866°
E100.689697°		 ← 258.02 m →
66 577 m²		 S 65.011866°
E100.695190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779701232910156 y=0.739830017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779701232910156 × 216)
    floor (0.779701232910156 × 65536)
    floor (51098.5)     		tx = 51098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739830017089844 × 216)
    floor (0.739830017089844 × 65536)
    floor (48485.5)     		ty = 48485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51098 / 48485 ti = "16/51098/48485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51098/48485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51098 ÷ 216
    51098 ÷ 65536     		x = 0.779693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48485 ÷ 216
    48485 ÷ 65536     		y = 0.739822387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739822387695312 × 2 - 1) × π
    -0.479644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50684850265685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75736674} λ = 1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50684850265685))-π/2
    2×atan(0.22160727335316)-π/2
    2×0.218082859519503-π/2
    0.436165719039006-1.57079632675     		φ = -1.13463061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13463061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.009545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51098 KachelY 48485 1.75736674 -1.13463061 100.689697 -65.009545
    Oben rechts KachelX + 1 51099 KachelY 48485 1.75746261 -1.13463061 100.695190 -65.009545
    Unten links KachelX 51098 KachelY + 1 48486 1.75736674 -1.13467111 100.689697 -65.011866
    Unten rechts KachelX + 1 51099 KachelY + 1 48486 1.75746261 -1.13467111 100.695190 -65.011866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13463061--1.13467111) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dl = 258.025499999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13463061--1.13467111) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dr = 258.025499999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75736674-1.75746261) × cos(-1.13463061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422467268439971 × 6371000     		do = 258.037840788435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75736674-1.75746261) × cos(-1.13467111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422430559777172 × 6371000     		du = 258.015419586145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13463061)-sin(-1.13467111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422467268439971-0.422430559777172)×R²
    abs(1.75746261-1.75736674)×3.67086627987012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67086627987012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67086627987012e-05×40589641000000     		ar = 66577.4502763953m²