Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51098 / 48220
↖ ↑ ↗
← S 64.387441°
E100.689697°		 ← 264.03 m → S 64.387441°
E100.695190°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 64.389816°
E100.689697°		 ← 264.01 m →
69 722 m²		 S 64.389816°
E100.695190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779701232910156 y=0.735786437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779701232910156 × 216)
    floor (0.779701232910156 × 65536)
    floor (51098.5)     		tx = 51098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735786437988281 × 216)
    floor (0.735786437988281 × 65536)
    floor (48220.5)     		ty = 48220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51098 / 48220 ti = "16/51098/48220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51098/48220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51098 ÷ 216
    51098 ÷ 65536     		x = 0.779693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48220 ÷ 216
    48220 ÷ 65536     		y = 0.73577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48144194585822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75736674} λ = 1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48144194585822))-π/2
    2×atan(0.227309683701203)-π/2
    2×0.223511742139689-π/2
    0.447023484279378-1.57079632675     		φ = -1.12377284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12377284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.387441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51098 KachelY 48220 1.75736674 -1.12377284 100.689697 -64.387441
    Oben rechts KachelX + 1 51099 KachelY 48220 1.75746261 -1.12377284 100.695190 -64.387441
    Unten links KachelX 51098 KachelY + 1 48221 1.75736674 -1.12381429 100.689697 -64.389816
    Unten rechts KachelX + 1 51099 KachelY + 1 48221 1.75746261 -1.12381429 100.695190 -64.389816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12377284--1.12381429) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dl = 264.077950000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12377284--1.12381429) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dr = 264.077950000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75736674-1.75746261) × cos(-1.12377284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432283418562553 × 6371000     		do = 264.033425231793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75736674-1.75746261) × cos(-1.12381429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43224604115972 × 6371000     		du = 264.010595571268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12377284)-sin(-1.12381429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432283418562553-0.43224604115972)×R²
    abs(1.75746261-1.75736674)×3.73774028332718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73774028332718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73774028332718e-05×40589641000000     		ar = 69722.3912718271m²