Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51096 / 48153
↖ ↑ ↗
← S 64.227881°
E100.678711°		 ← 265.59 m → S 64.227881°
E100.684204°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
S 64.230269°
E100.678711°		 ← 265.57 m →
70 524 m²		 S 64.230269°
E100.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779670715332031 y=0.734764099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779670715332031 × 216)
    floor (0.779670715332031 × 65536)
    floor (51096.5)     		tx = 51096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734764099121094 × 216)
    floor (0.734764099121094 × 65536)
    floor (48153.5)     		ty = 48153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51096 / 48153 ti = "16/51096/48153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51096/48153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51096 ÷ 216
    51096 ÷ 65536     		x = 0.7796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48153 ÷ 216
    48153 ÷ 65536     		y = 0.734756469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7796630859375 × 2 - 1) × π
    0.559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75717499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734756469726562 × 2 - 1) × π
    -0.469512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47501840130913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75717499} λ = 1.75717499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47501840130913))-π/2
    2×atan(0.228774517255877)-π/2
    2×0.224904165048188-π/2
    0.449808330096375-1.57079632675     		φ = -1.12098800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75717499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12098800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.227881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51096 KachelY 48153 1.75717499 -1.12098800 100.678711 -64.227881
    Oben rechts KachelX + 1 51097 KachelY 48153 1.75727087 -1.12098800 100.684204 -64.227881
    Unten links KachelX 51096 KachelY + 1 48154 1.75717499 -1.12102968 100.678711 -64.230269
    Unten rechts KachelX + 1 51097 KachelY + 1 48154 1.75727087 -1.12102968 100.684204 -64.230269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12098800--1.12102968) × R
    4.16799999998219e-05 × 6371000     		dl = 265.543279998865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12098800--1.12102968) × R
    4.16799999998219e-05 × 6371000     		dr = 265.543279998865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75717499-1.75727087) × cos(-1.12098800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.434792934540137 × 6371000     		do = 265.593907557211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75717499-1.75727087) × cos(-1.12102968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.434755400053032 × 6371000     		du = 265.570979560212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12098800)-sin(-1.12102968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434792934540137-0.434755400053032)×R²
    abs(1.75727087-1.75717499)×3.75344871048067e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.75344871048067e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.75344871048067e-05×40589641000000     		ar = 70523.6331830726m²