Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51091 / 48781
↖ ↑ ↗
← S 65.687692°
E100.651245°		 ← 251.49 m → S 65.687692°
E100.656738°		 →
↑
251.46 m
↓
↑
251.46 m
↓
S 65.689953°
E100.651245°		 ← 251.47 m →
63 239 m²		 S 65.689953°
E100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779594421386719 y=0.744346618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779594421386719 × 216)
    floor (0.779594421386719 × 65536)
    floor (51091.5)     		tx = 51091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744346618652344 × 216)
    floor (0.744346618652344 × 65536)
    floor (48781.5)     		ty = 48781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51091 / 48781 ti = "16/51091/48781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51091/48781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51091 ÷ 216
    51091 ÷ 65536     		x = 0.779586791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48781 ÷ 216
    48781 ÷ 65536     		y = 0.744338989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779586791992188 × 2 - 1) × π
    0.559173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75669562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744338989257812 × 2 - 1) × π
    -0.488677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53522714723192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75669562} λ = 1.75669562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53522714723192))-π/2
    2×atan(0.215406756563782)-π/2
    2×0.212164912483244-π/2
    0.424329824966488-1.57079632675     		φ = -1.14646650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75669562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14646650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.687692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51091 KachelY 48781 1.75669562 -1.14646650 100.651245 -65.687692
    Oben rechts KachelX + 1 51092 KachelY 48781 1.75679150 -1.14646650 100.656738 -65.687692
    Unten links KachelX 51091 KachelY + 1 48782 1.75669562 -1.14650597 100.651245 -65.689953
    Unten rechts KachelX + 1 51092 KachelY + 1 48782 1.75679150 -1.14650597 100.656738 -65.689953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14646650--1.14650597) × R
    3.94699999999304e-05 × 6371000     		dl = 251.463369999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14646650--1.14650597) × R
    3.94699999999304e-05 × 6371000     		dr = 251.463369999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75669562-1.75679150) × cos(-1.14646650) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.41171013544824 × 6371000     		do = 251.493745569975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75669562-1.75679150) × cos(-1.14650597) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.411674165530237 × 6371000     		du = 251.471773292328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14646650)-sin(-1.14650597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41171013544824-0.411674165530237)×R²
    abs(1.75679150-1.75669562)×3.59699180026984e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.59699180026984e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.59699180026984e-05×40589641000000     		ar = 63238.7021919647m²