Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51090 / 48234
↖ ↑ ↗
← S 64.420666°
E100.645752°		 ← 263.71 m → S 64.420666°
E100.651245°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 64.423037°
E100.645752°		 ← 263.69 m →
69 537 m²		 S 64.423037°
E100.651245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779579162597656 y=0.736000061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779579162597656 × 216)
    floor (0.779579162597656 × 65536)
    floor (51090.5)     		tx = 51090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736000061035156 × 216)
    floor (0.736000061035156 × 65536)
    floor (48234.5)     		ty = 48234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51090 / 48234 ti = "16/51090/48234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51090/48234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51090 ÷ 216
    51090 ÷ 65536     		x = 0.779571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48234 ÷ 216
    48234 ÷ 65536     		y = 0.735992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779571533203125 × 2 - 1) × π
    0.55914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75659975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.47198486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48278417904758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75659975} λ = 1.75659975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48278417904758))-π/2
    2×atan(0.227004785767314)-π/2
    2×0.223221805078625-π/2
    0.446443610157251-1.57079632675     		φ = -1.12435272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75659975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12435272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.420666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51090 KachelY 48234 1.75659975 -1.12435272 100.645752 -64.420666
    Oben rechts KachelX + 1 51091 KachelY 48234 1.75669562 -1.12435272 100.651245 -64.420666
    Unten links KachelX 51090 KachelY + 1 48235 1.75659975 -1.12439411 100.645752 -64.423037
    Unten rechts KachelX + 1 51091 KachelY + 1 48235 1.75669562 -1.12439411 100.651245 -64.423037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12435272--1.12439411) × R
    4.1389999999808e-05 × 6371000     		dl = 263.695689998777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12435272--1.12439411) × R
    4.1389999999808e-05 × 6371000     		dr = 263.695689998777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75659975-1.75669562) × cos(-1.12435272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431760446200882 × 6371000     		do = 263.714000109236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75659975-1.75669562) × cos(-1.12439411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43172311253478 × 6371000     		du = 263.691197162571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12435272)-sin(-1.12439411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431760446200882-0.43172311253478)×R²
    abs(1.75669562-1.75659975)×3.73336661025903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73336661025903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73336661025903e-05×40589641000000     		ar = 69537.2387116471m²