Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51090 / 48079
↖ ↑ ↗
← S 64.050575°
E100.645752°		 ← 267.27 m → S 64.050575°
E100.651245°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
S 64.052978°
E100.645752°		 ← 267.24 m →
71 428 m²		 S 64.052978°
E100.651245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779579162597656 y=0.733634948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779579162597656 × 216)
    floor (0.779579162597656 × 65536)
    floor (51090.5)     		tx = 51090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733634948730469 × 216)
    floor (0.733634948730469 × 65536)
    floor (48079.5)     		ty = 48079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51090 / 48079 ti = "16/51090/48079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51090/48079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51090 ÷ 216
    51090 ÷ 65536     		x = 0.779571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48079 ÷ 216
    48079 ÷ 65536     		y = 0.733627319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779571533203125 × 2 - 1) × π
    0.55914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75659975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733627319335938 × 2 - 1) × π
    -0.467254638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46792374016536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75659975} λ = 1.75659975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46792374016536))-π/2
    2×atan(0.230403366167447)-π/2
    2×0.226451454390533-π/2
    0.452902908781066-1.57079632675     		φ = -1.11789342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75659975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11789342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.050575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51090 KachelY 48079 1.75659975 -1.11789342 100.645752 -64.050575
    Oben rechts KachelX + 1 51091 KachelY 48079 1.75669562 -1.11789342 100.651245 -64.050575
    Unten links KachelX 51090 KachelY + 1 48080 1.75659975 -1.11793537 100.645752 -64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 51091 KachelY + 1 48080 1.75669562 -1.11793537 100.651245 -64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11789342--1.11793537) × R
    4.19500000001793e-05 × 6371000     		dl = 267.263450001143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11789342--1.11793537) × R
    4.19500000001793e-05 × 6371000     		dr = 267.263450001143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75659975-1.75669562) × cos(-1.11789342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437577611754659 × 6371000     		do = 267.267053685548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75659975-1.75669562) × cos(-1.11793537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 267.244014152073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11789342)-sin(-1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437577611754659-0.437539890741556)×R²
    abs(1.75669562-1.75659975)×3.77210131033423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77210131033423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77210131033423e-05×40589641000000     		ar = 71427.6360374123m²